Logarithmen. 
Transport 2,71827 87698 
~ = 0,00000 27557 
w 
= 0,00000 02766 
(II) 
= 0,00000 00251 
-— =0,00000 00021 
(12) 
(13) 
= 0,00000 00002 
Summa e = 2,71828 18285 
7. Setzt man in No. 3, Formel 1, für 
135 Logarithmische Linie. 
log (1 + x) diesen Logarithmus = y, so hat 
man die Reihe 
y = x — %x 3 -\-%x 3 — \x* + ... 
und wenn man diese mit Hülfe der un 
bekannten Coefficienten umkehrt, nämlich 
wenn man schreibt 
x = Ay + By 3 + Cy 3 + ... 
und die Coefficienten A, B, 
wickelt (s. „Arcus“, No. 9, 
so erhält man die Formel, aus welcher 
man den Numerus x bei gegebenem log x 
— y findet. 
Man erhält nämlich bei Anwendung 
des binomischen Satzes 
= Ax 
- £ Ax 2 
+ Bx 2 
+ jAr 3 — ^ Ax* -f }Ax b — ... 
-Bx 3 +(i + $)ß* 4 -(¿ + i)ß* 5 + ... 
+ Cx 3 Cx* +(| + l)Ca; 5 -... 
-f Bx* —2 Dx 3 
+ Ex 5 
Hieraus 0 = (A — 1) x + (B — £A) x i + ( 
B + C)x 3 +(-iA + ttB-$C+D)x* 
+ (^A-iB + lC-2D + E)x 3 
Jeden einzelnen der Coefficienten = 0 
D- 1 - 
gesetzt giebt 
24 
A= 1 
E = — : 
B = h= — 
120 
- 1 • 2 
u. s. w. 
c= i s = 1 
s 1.2-3 
Mithin ist 
•2.3.4 
1 
1 • 2 • 3 • 4 
x = y + 
1 + f 
2-3 
+ • 
V 
oder 
(Inx) 2 (ln x) 
x = ln x + ——- + + 
2.3.4 
(In x)* 
+ : 
y 
(2) 
(3) 
(4) 
+ .. 
2 • 3 • 4 • 5 
(ln x) m 
(m) 
8. Ist von einer Zahl x der natürliche 
Logarithmus gegeben, so erhält man aus 
N0. 6, Formel 1 den Brigg’schen Loga 
rithmus 
log br x = M ln x = 0,43429 ... X In x 
und ist der Brigg’sche Logarithmus von 
x gegeben, 
logn x = ■— log br x = 2,30258 ...Y.log br x 
Logarithmische Linie oder Logis ti 
sche Linie ist eine krumme Linie, de 
ren Ordinaten zu Abscissen, welche nach 
einer arithmetischen Reihe fortschreiten, 
eine geometrische Reihe bilden. 
Ist Fig. 799 AX die Abscissenlinie, A 
der Anfangspunkt der Coordinaten, und 
man nimmt von A aus auf derselben 
lauter gleiche aufeinander folgende Ab- 
scissenstücke AB = BD = DE. .. = a , so 
dafs die Abscissen von A aus: a, 2a, 
3a, ... na sind; errichtet in A auf AX 
eine Normale von der beliebigen Länge 
b, ferner in den anderen Abscissenpunk- 
ten ebenfalls Normalen von den Längen 
c, d, e ... so dafs b : c = c : d = d : e ...., 
dafs also — — = -^ ... ein constantes 
b c d 
Verhältnis ist, so liegen sämmtliche End 
punkte der Ordinaten in einer logarith- 
mischen Linie. Nimmt man bei diesem 
constanten Verhältnis b als die erste und 
c als die zweite Ordinate, so sind die 
Längen der Ordinaten der Reihenfolge 
nach