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Kegel. 
dieser Ebene mit der Axe AC. Ziehe 
von der Spitze C zwei Linien AB, AE 
nach den Umfangspunkten В und E des 
Grundkreises: b, e seien die Durchschnitts 
punkte dieser Linien mit der Durch 
schnittslinie bedf. Lege durch die Linien 
AB, AC, AE und AC zwei Ebenen; bc, 
ec seien deren Durchschnittslinien mit 
der durchgelegten Ebene, 
so ist bc ф BC und ec Ф EC (s. „Ebene“ 
No. 29 mit Fig. 589) 
folglich ist дАбсооДЛВС 
und ДфесссДфЕС 
Hieraus bc : BC = Ac : AC 
und ec : EC = Ac : AC 
folglich bc : BC = ec : EC 
Da aber C der Mittelpunkt des Grund 
kreises ist, so sind BC und EC als Ra 
dien einander gleich, folglich ist auch 
bc = ec. Da nun b und e beliebige Punkte 
sind, so folgt daraus, dafs auch alle übri 
gen Punkte des Umfangs bedf gleichen 
Abstand von c haben, dafs daher bedf 
eine Kreislinie mit dem Mittelpunkt c ist. 
Man fälle aus der Spitze A auf die 
Grundfläche das Loth AE, und dies treffe 
die durchgelegte Ebene in den Punkt f. 
Zieht man mm die Linien CF und cf, 
so liegen diese in der Ebene АСЕ, sind 
parallel, verhalten sich wie AFiAf und 
zugleich wie EC : ec = BC : bc. Die Kreis- 
umfänge verhalten sich aber wie die ihnen 
zugehörigen Halbmesser, folglich verhal 
ten sich die Kreisumfänge bed : BEI) wie 
die ihnen zugehörigen Höhen bf ■. BF, und 
die Kreisflächen wie die Quadrate ihrer 
Halbmesser, also wie die Quadrate der 
zugehörigen Kegelhöhen. 
5. Ein Kegel, dessen Axe senkrecht 
auf der Grundfläche steht, heifst ein ge 
rader Kegel, oder auch -weil seine 
sämmtlichen Seiten einander gleich sind, 
ein gleichseitiger Kegel. Ein Ke- 
el, dessen Axe schief auf der Grund- 
äche steht (Fig. 727) heifst ein schiefer 
Kegel oder auch ein ungleichseiti 
ger Kegel Aehnliche Kegel, s. u. 
„Aehnlich“. Die Namen stumpf 
winklige, spitzwinklige, recht 
winklige Kegel erhalten die Kegel von 
der Beschaffenheit ihres Winkels an der 
Spitze. 
6. Ist der Kegel ein schiefer Kegel, so 
gibt es aufser dem System der mit dem 
Grundkreise parallelen Durchschnittskreise 
noch ein zweites System von parallelen 
Durchschnittsebenen, welche auch Kreise 
sind und Wechselschnitte des Kegels 
heifsen. Deren Durchmesser in dem nor- 
Kegel. 
mal auf der Grundfläche befindlichen 
Axendurchschnitt sind antiparallel. 
Durch einen beliebigen Punkt H in 
dem Durchmesser BD einer der Grund 
fläche parallelen Durchschnittsebene BED, 
wenn AABD der normale Axenquer- 
schnitt des Kegels ist, ziehe die Linie 
KL antiparallel mit BD, so dafs also 
/_AKL - /_ADB und ZALK-ZABD, 
und lege durch KL eine der Axe AC 
normale Ebene KG LJ, so ist diese Ebene 
eine Kreisebene und die Durchschnitts 
linie GJ beider Ebenen steht auf dem 
Axendreieck ABD normal, folglich auch 
normal auf den beiden im Axendreieck 
ABD befindlichen Linien BD und KL 
in dem allen dreien Linien gemeinschaft 
lichen Durchschnittspunkt H. 
Da nun BJDG ein Kreis ist, so hat 
man 
Nun ist 
hierzu 
GIP = BII x DH 
ZDLH = ZKBII 
ZDHL = ZBIIK 
daher 
/±DHL<*&KHB 
woraus 
DH: LH = KH: BH 
oder 
LHx KH = BHx DH 
mithin 
LHxKH= GH* 
Mithin ist, weil der Punkt II ein in 
dem Durchmesser BD ganz willkührlich 
angenommener Punkt ist die Ebene KGLJ 
ein dem Kreise BE DJ congruenter Kreis. 
7. Der Mantel eines geraden Kegels 
ist so grofs als ein Dreieck, dessen Grund 
linie dem Umfang des Grundkreises und 
dessen Höhe der Seite des Kegels ist. 
Man beschreibe in und um den Grund 
kreis des Kegels zwei einander ähnliche 
Vielecke, die Seiten des inneren Vielecks 
einzeln 4= den Seiten des äufseren Viel 
ecks. Erstere sind Sehnen im Grund 
kreise, letztere Tangenten an dem Grund 
kreise. Nun bilde man zu diesen Seiten 
als Grundlinien Dreiecke, deren gemein 
schaftliche Spitze die Spitze des Kegels 
ist, so fallen alle Dreiecke über dem in 
neren Polygon innerhalb, alle Dreiecke 
über dem äufseren Polygon aufserhalb 
des Kegelmantels; die inneren Dreiecke 
unter sich und die äufseren Dreiecke un 
ter sich sind congruent und gleichschenk 
lig. Das Loth aus der Spitze auf jede 
der inneren Grundlinien gefällt, d. h. 
die Höhe jedes der inneren Dreiecke, sei 
h, das Loth auf die äufseren Grundlinien 
ist die Seite l des Kegels, die Seiten 
selbst seien a und A so hat man die 
Summe der inneren Dreiecke = Lnah, die 
der äufseren =$nAl. Zwischen beiden 
Flächenräumen ist offenbar der von ihnen