Kegel. 
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Kegel. 
eingeschlossene Kegelmantel begriffen. 
Ist dieser = M, so hat man 
inah < M < \ nAl 
Ist ferner U der Umfang des Grund 
kreises, so hat man, da dieser von bei 
den Polygonen eingeschlossen ist 
na< U < n A 
und da li < l, so hat man hieraus 
1 nah < t Ul < 1 ti Al 
Mit dem beliebigen Wachsthum von n 
kommen die Polygonumfange dem Kreis 
umfang und die Höhe h der Seite l im 
mer näher, mithin kommen beide Drei 
eckssummen Unah und \nAl sowohl dem 
Kegelmantel in als auch der Fläche \Ul 
beliebig nahe und sowohl M als %Ul sind 
deren Grenzwerthe und einander gleich. 
Da nun kUl der Inhalt eines Dreiecks 
ist, dessen Grundlinie der Umfang des 
Grundkreises und dessen Höhe die Seite 
des Kegels ist, so ist der Kegelmantel 
diesem Dreiecke gleich. 
8. Wenn man durch einen Kegel eine 
mit der Grundfläche parallele Ebene 
führt und den oberen Theil fortnimmt, 
so heifst der zurückgebliebene mit zwei 
Endflächen versehene Theil des Kegels 
abgekürzter oder abgestumpfter 
Kegel. Ist die durchgeführte Ebene 4= 
der Grundfläche so ist der Kegel gerade 
abgekürzt, ist sie der Grundfläche nicht 
=h, schief abgekürzt. 
Der Mantel eines geraden und gerade 
abgekürzten Kegels ist gleich einem Tra 
pez, dessen parallele Seiten den Umfän 
gen der beiden Endkreise gleich sind und 
welches das zwischen den beiden End 
kreisen begriffene Stück der Seite des 
Kegels zur Höhe hat. 
An der Seite CA des ganzen geraden 
Kegels errichte in A die Normale AF = 
dem Umfange des Grundkreises AB, ziehe 
die gerade Linie CF, so ist A CFA = dem 
ganzen Kegelmantel. Ziehe DG 4= AF, 
Fig. 728. 
so hat man, wenn CJ die Axe des Ke 
gels ist, und H der Punkt, in welchem 
sie die obere Endfläche DE schneidet, 
Umfang Aß: Umfang DE=AC: CD 
aber auch AC: CD = AF:DG 
folglich Umfang A B -.Umfang DE = AF: DG 
Da nun AF = Umfang AC 
so ist DG = Umfang DE 
daher ACDG = Kegelmantel CDE 
folglich ist das Trapez ADGF = dem Ke 
gelmantel ABDE. 
10. Der Mantel eines gerade abgekürz 
ten geraden Kegels ist gleich einem 
Rechteck, dessen Grundlinie gleich dem 
Umfange des in der Mitte beider End 
kreise ihnen 4-' durchgelegten Kreises 
und dessen Höhe die Seite des abgekürz 
ten Kegels ist. 
Durch die Mitte K der Seite AD führe 
den Durchschnitt KM + beiden Endkrei 
sen AB und DE und errichte in K die 
Normale KL auf AC, so ist (nach Satz 9) 
KL = dem Umfange des Kreises KM. 
Nun ist aber das Rechteck von der 
Grundlinie KL und der Höhe AD = dem 
Trapez ADFG, folglich ist der Satz er 
wiesen. 
11. Der Mantel eines geraden Kegels 
ist gleich dem Mantel eines Cylinders, 
der den halben Durchmesser der Kegel 
grundfläche zum Durchmesser und die 
Seite des Kegels zur Höhe hat. 
Ist (Fig. 728) CH=kCJ, so ist auch 
DE—\AB und Umfang Z>E=4Umfang AB. 
Da nun der Kegelmantel nach No. 9 
= £• Umfang AB malAC, so ist der Ke 
gelmantel auch = Umfang DE mal AC 
also = dem Mantel eines Cylinders von 
dem Durchmesser DE und der Höhe AC. 
12. Der Mantel eines geraden Kegels 
CAB ist gleich dem Mantel eines Cylin 
ders dessen Höhe die Höhe CJ des Ke 
gels ist und dessen Grundfläche die in 
der Mitte D der Seite auf derselben bis 
zur Axe CJ errichtete Normale DO zum 
Halbmesser hat. 
Es sei, Fig. 729, CAB der Axenquer- 
schnitt eines geraden Kegels, CJ die 
Höhe, CH = \CJ, DE 4= AB. Ziehe DO 
normal AC, 
so ist /SCAJcv&DOH 
weil deren Seiten gegenseitig auf einan 
der normal stehen. 
Hieraus folgt CA : DO = CJ : DH 
und wenn man DH und DO als Halb 
messer von Kreisen ansieht, 
CA : Umf. DO = CJ : Umf. DH 
woraus CA x Umf. DH = CJ x Umf. DO