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Kegel. 
Kegel. 
Fig. 730. 
ist gröfser als der Kegel. 
Der erste innere Cylinder besteht in 
der Axe CE und ist = 0, der zweite hat 
die Grundfläche aci, der dritte die Grund 
erste äufsere Cylinder von der Höhe 
CE = A hat die Grundfläche vom Durch 
messer ««, und die Höhe EC — h, der 
zweite äufsere Cylinder die Grundfläche 
vom Durchmesser cc und die Höhe FE 
= A, der mte äufsere Cylinder hat die 
Grundfläche von Durchmesser AB und 
die Höhe Ay = h. 
Bezeichnet man den Halbmesser der 
Grundfläche na mit r, die Grundfläche 
selbst also mit nr 2 , so ist die Grund 
fläche cc = 4.?r 2 , die folgende 9rer 9 , u. s w. 
Die mte AB = m 9 nr 9 . Sämmtliche Cy 
linder umschliefsen den Kegel und deren 
Summe 
2 A = jm (m -f 1) (2 hi + 1) 7ir 2 A 
fläche cc ..., der mte die Grundfläche xx, 
sämmtliche Cylinder haben die Höhe A, 
sie werden von dem Kegel eingeschlos 
sen, und deren Summe 
nr 9 h -f 47rr 2 A + 9nr 9 li -f ...., (m — l) 2 nv?h = | (m — 1) m (2m — 1) nr 2 k 
ist kleiner als der Kegel. Hieraus hat man 
\m (m + 1) (2m -f 1) nr 9 h > Kegel > {(m — 1) m (2m — 1) nr 2 h 
Bei beliebigem Wachsthum vom m ver 
schwindet die Einheit immer mehr und 
mehr gegen m und beide den Kegel ein- 
schliefsenden Gröfsen nähern sich belie 
big dem Körper 
{ in • m • 2m • nr-h — {in 3 nr 2 h 
Nun ist nach Yoraussetzungmr=; AD-R, 
also m 2 7rr 2 = 7rß 2 , und mh = CD = II. 
Demnach ist der Inhalt des Kegels 
= {nll 2 H. D. h. = dem dritten Theil 
eines Cylinders von der Grundfläche und 
der Höhe des Kegels. 
Fx = Kegel Ccc = n fy 9 9# -f C = n • 
Für x = 0 fällt der Kegel in die Spitze 
C zusammen, wird = 0 und folglich wird 
auch C = 0. Mithin ist 
7T R2 
der Kegel Ccc = — . — ? • x 3 
Setzt man für CF die Höhe CD, also 
II für x, so erhält man 
den Kegel CAB = ~ { nR'H 
19. Der körperliche Inhalt eines gerade 
abgekürzten geraden Kegels ist gleich 
dreien vollständigen Kegeln von einerlei 
Höhe mit dem abgekürzten, deren Grund- 
Durch Integralrechnung erhält man das 
Resultat einfacher: 
Nimmt man CD zur Abscissenlinie, C 
zum Anfangspunkt der Abscissen, setzt 
CF=x, Fc = y, so hat man 
CF \ Fc = CD : DB 
oder x :y = H: R 
Nun ist die Cubaturformel für Um 
drehungskörper, indem nämlich das ACDB 
um CD sich umdrehend den Kegelraum 
beschreibt: 
J'!Lx i Sx + C=^-^x 3 + C 
flächen der Reihe nach der untere, der 
obere und das Mittel beider Endkreise 
sind. 
Ein Kegel ist gleich einer Pyramide 
von gleicher Grundfläche und Höhe; führt 
riian durch beide Körper parallel mit den 
Grundflächen genommene Durchschnitts 
ebenen in gleichen Abständen von der 
Spitze, so sind in beiden Körpern diese 
Durchschnittsflächen einander gleich. Die 
beiden oberen Körper sind daher einan-' 
der gleich, also auch die beiden abge 
kürzten unteren. D. h. Ein abgekürzter 
Kegel ist = einer abgekürzten Pyramide