Parabel. 
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Parabel. 
Nachdem zuerst die Bedeutung und beliebig grofser Abscissen (x) der Glei- 
der Einflufs der einzelnen Coefficienten chung die Form gegeben (Gl. 9): 
gezeigt worden, ist unter der Bedingung 
JL-1_ 
x 2a 
- ( t+ 1) ± j/ ( P _ 4«)+ + 
(2) 
und die beliebige Gröfse der Abscisse x 
bis zur Unendlichkeit ausgedehnt, wo dann 
die Glieder, welche x im Nenner haben, 
als Null fortfallen und die Gleichung die 
allgemeine Form annimmt (Gl. 10) 
~ = (3) 
Hierauf sind für sämmtliche Curven 
derselben Klasse drei mögliche Fälle ge 
zeigt : 
1. b I. 2 >4tac 
b 2 < 4ac 
b 2 = 4 ac 
woraus nun drei mögliche Formen von 
Curven nachgewiesen worden, welche 
durch folgende drei Gleichungen (19, 20, 
21, pag. 175) ausgesprochen werden. 
1. y 2 = Ax + Bx 2 
2. y 2 = Ax — Bx 2 
3. y 2 = Ax 
Für die erste und die dritte Gleichung 
sind bei unendlichen Abscissen auch un 
endliche Ordinaten vorhanden, für die 
zweite Gleichung sind für unendliche Ab 
scissen Ordinaten unmöglich. Die erste 
Gleichung gehört der Hyperbel, die zweite 
der Ellipse und die dritte der Para 
bel an. 
Die allgemeine Gleichung der Para 
bel, wenn deren Axe die Abscissenlinie 
und der Scheitel der Anfangspunkt der 
Abscissen ist, hat man also 
y 2 = Ax (4) 
2. In No. 15, pag. 176 ist, um auf den 
Character der Kegelschnitte specieller zu 
kommen, Bezug genommen auf den Art. 
„Brennpunkte derKegelschnitte“, 
Bd. I, pag. 420 mit Fig. 257. Hier wer 
den die Constructionen der Kegelschnitte 
aus dem Kegel bildlich dargestellt und 
die Hauptformeln für dieselben abgeleitet, 
wobei die Axen als die Abscissenlinien 
mit dem Scheitel F als Anfangspunkt 
gelten. Die Abtheilung A handelt spe- 
ciell von der Parabel. 
Mit Bezug auf die Bezeichnung, Fig. 
I. sin 2 (ß + 4) s 2 — 2 sin (ß + 4) sinß-iu + 
+ (2g sin 2 ß + A cos ß)u + g 2 i 
257 ist die rechtwinklige Coordinaten- 
gleichung entwickelt (pag. 421) 
y 2 = 2k sin • x (5) 
Hier ist k der Durchmesser EF des 
Kegels in dem Scheitel F der Parabel 
und « der Z.EAF des Axenquerschnitts 
an der Kegelspitze. Oder 2k sin ~ durch 
p (Parameter) ausgedrückt. 
y 2 = P* (6) 
An diese Gleichung knüpft sich der 
Grund für den Namen Parabel (n«p« 
gleichkommend), weil das Quadrat der 
Ordinate gleich ist dem Rectangel zwi 
schen dem Parameter (p) und der Ab 
scisse (*)• 
3. Die Gleichungen 4 bis 6 für die Pa 
rabel haben die Beschränkung, dafs die 
Abscissenlinie die Axe mit dem Scheitel 
als Anfangspunkt ist und dafs die Ordi 
naten rechtwinklig sind. Eine allgemeine 
Gleichung für die Parabel ist aber eine 
solche, die eine gegen die Axe ganz be 
liebig liegende Abscissenlinie, einen be 
liebigen Anfangspunkt hat und dessen 
Ordinaten einen beliebigen Winkel mit 
der Abscissenlinie bilden. Nur liegt das 
ganze Coordinatensystem mit der Parabel 
in einerlei Ebene. 
Eben so wie für die Ellipse! und Hy 
perbel (s. „Ellipse“, No. 3 und 4, pag. 
39 und „Hyperbel“, No. 5, pag. 263) 
und mit denselben in dem erstgenannten 
Art. angegebenen Hülfsmitteln sollen nun 
hier die der Parabel angehörenden allge 
meinen Gleichungen geordnet und auf 
Fig. 608, Bd. III, pag. 40 bezogen zusam 
men gestellt, auch noch einige andere 
Fälle hinzugefügt werden. 
A bedeutet den Parameter der allge 
meinen Gleichung (4) 
y 2 = Ax 
AC ist die Axe, A der Scheitel, E der 
Anfangspunkt der Abscissen, EF=u die 
Abscisse, FD = z die Ordinate. Die all 
gemeine Gleichung für den Parabelpunkt 
(Bd. II, pag. 177, Formel 29) ist 
iin 2 ß-u 2 ~ [2gsin(ß + d) sinß + A cos (ß -f 4)] s 
in 2 ß — A (p — g cos ß) — 0