Parabel. 
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Parabel. 
winklige Ordinateli durch die Axe nicht auf die Gleichungen überzugehen, welche 
halbirt werden. in Abständen von der Axe und 4= mit 
Uni nun zu untersuchen ob für eine derselben die Abscisse annehmen, also 
mit der Axe parallele Abscisse ein Win- auf Gleichung IV. und YI. Mit Hinfort- 
kel cf existirt, für welchen die Ordinaien lassung der bekannten Glieder erhält 
durch dieselbe halbirt werden, hat man man 
Gl. IV. 
Gl. YI. 
sin 2 J ■ 
sin 2 cf 
7 - 2 — (A cos d + 2h sin cf) z + Au — 01 
z 2 — (A cos cf — 2/i sin cf) a -f- Au 
= o} 
(15) 
Man hat also zur Bedingung: 
A cos cf ± 2 h sin cf = 0 (16) 
woraus tq cf = — (17) 
2/t 
d. h. befindet sich die Abscisse unter 
halb der Axe (Gl. IV.), so ist cf stumpf, 
und befindet sie sich oberhalb der Axe 
spitz. 
Dieser Ausdruck für tq cf gilt für jeden 
Punkt der Parabel, also auch für den in 
der Parabellinie liegenden Anfangspunkt 
der Abscissen. Fällt man von diesem 
ein Loth auf die Axe, und bezeichnet 
man den Abstand dessen Fufspunkts vom 
Scheitel mit x, so ist h—y und tq cf = 
A p 
— = Mithin ist cf = dem /u den die 
2 y 2 y 
Tangente des Parabelpunkts mit der Axe 
bildet. Wenn also Fig. 872 DM-f=/SÄ, 
so ist DM unter dem Abstand UH = h 
— DG = y von der Axe ein Durchmesser 
der Parabel und die mit der Tangente 
DT parallelen Ordinaten werden, wie ON 
in P, von DM halbirt. 
7. Bei Bildung der Gleichungen 15 ist 
zum Anfangspunkt der Abscissen der Pa- 
rabelpunkt E, Fig. 608, (Bd. III, pag. 40) 
festgestellt. Für die Bezeichnung, Fig. 
872 hat man also den Punkt D für E, 
die Abscissen x, haben die entgegenge 
setzte Lage von u, mithin — x, für u; 
y, für z; « für cf und es ist A=p. 
Man hat nun aus Gl. 15 und 16: 
A cos cf ± 2h sin J = 0 
mithin ist auch die Summe der übrigen 
Glieder 
sin 2 tf • s 2 + Au = 0 
oder sin 2 fi • j/, 2 — p.v, = 0 
hieraus erhält man also, einen Durchmes 
ser zur Abscissenlinie genommen, die 
schiefwinklige Coordinatenglei- 
chung 
gesetzt sin 2 « = —„ 
4/r + p l 
2 4/c 2 + p 2 
y?=—~- x ' 
(19) 
(18) 
pder wenn man die Entfernung GD des 
Durchmessers von der Axe wieder mit 
h bezeichnet, da aus Gl. 17 tq cf = 
cos o 
(20) 
8. Nimmt man eine Tangente zur Ab 
scissenlinie, den Berührungspunkt zum 
Anfangspunkt, die Ordinaten =h der Axe, 
so erhält man die Coordinatengleichung 
S = 4 
Denn ist (Fig. 872) DQ = u, QN = z, 
DG = h, Z.DTG = er, so hat man in For 
mel 19: z für x,; u für y, gesetzt: 
m3 = 4A*±p* >s 
P 
woraus i = (21) 
zu gleichen entgegengesetzten Abscissen 
u gehören also gleiche Ordinaten z. 
9. Nimmt man die Ordinate DG als 
Abscisse (x), D als deren Anfangspunkt 
und die Ordinaten (y) rechtwinklig, so 
hat man für einen Punkt N 
DV = x = u sin u 
VN — y — u cos u — z 
Also nach Gl. 18: 
(22) 
V 
Aus der ersten Gleichung ist u = 
° sin « 
und diesen Werth in die zweite Gleichung 
gesetzt 
sm ‘a , 
y = u cos n ir 
y = x cot u 
P 
woraus die Coordinatengleichung 
a? 2 — p • cot ct • x + py = 0 
(23) 
(24) 
V 
Setzt man aus Gleichung 17: tq ct = + 
so hat man 
x 2 — 2hx -f py = 0 (25) 
Die Auflösung der Gleichung gibt 
x = + h ± j/A 2 — py (26) 
für jedes y also liefert die Summe der 
beiden zugehörigen x den Werth 2 DG 
— 2h.