V. » 
Parabel. 
16. Dreht sich der Bogen ND um 
Durchmesser DM, so hat man 
also F= 2nfy sin a |/[9 (y cos n — a;)] 2 + (9y sin o) 2 
folglich ist hier die Wurzelgröfse 
l '(9i/) 2 (9a 1 ) 2 — 29.r 
2n sin a 
+ 1 - 2 cos C( — • 9«/ 
4y 2 2i/ p 
F = 
V 
Sy V^y 2 ~~ 4v cos a ■ y + p 2 ■ 
Nach den in No. 15 citirten Integral- und 4*/ 2 — 4pcos«• i/ + p 2 = F setzt: ferner 
formein hat man nun, wenn man in die- f , y _ y , y p cos « y 
sen Formeln a = p 2 ; b = — 4pcos«; c — 4, 1 — 2 ^ 
... p cos « 4- 2i/ 9 . , 
Sv Y = - - J VY+ ip 2 sm 
’“"V yy 
endlich / ~¥y= k In P cos a -f + >' F) 
Mithin 
2zr sin « f/4 v 2 -4p cos (t • y + p 2 p cos n — p cos « + 2y\ v 
F= -7— Lv 12 + "2 4 ) y F 
+ P c ” _ . -ijti 2 sin 2 « • | In (- p cos u + 2y + l/F)J 
= _p c °*“y + |L(2 -3cos 2 «)]>4?-4pcos«-T+7 2 
-f |-p 3 sin 2 « • cos « Zn [— p cos « + 2»/ + }/4p* — ~4p cos « • y + p 2 ]j 
Für y = 0 wird auch F= 0; es wird dann \'y = p und man hat für die Constante 
0 - 2^ sin et rp_ _ g cos _|_ _i„3 Ä .j n 2 K . cos n [ n (_ p cos « + p) + C 
p L24 J 
den negativen Werth dieses Ausdrucks durch den Bogen ND um den Durch 
in die Formel für F eingesetzt, reducirt messer DM 
gibt vollständig die Umdrehungsfläche 
f = J + S_(2- 3 ct«*»)] 14 f - 4/i CT«» • y + v' A 
- El (2 _3ct« >„)+*,>*»»■« • cos „ • „-!»«—+»»+ |/4»*-Vco.».,+g) 
24 v y 1 8r -pcos«-|-p / 
Setzt man « = 90°, so sind die Ordi- 
naten rechtwinklig, die Abscissenlinie ist 
die Parabelaxe und man hat: 
(41) 
17. Der Körper, welcher durch die 
Umdrehung der Ebene DFG um die Axe 
entsteht, ist in Bd. II, pag. 195 entwickelt. 
K = \nxy 1 — px 2 (42) 
Liegt die erzeugende Ebene zwischen 
den zu den Abscissen x, x' gehörenden 
Ordinaten y, y’ so ist 
K~ ^71 (xy 1 — x’y’ 2 ) = 4 np — (a 3 — x' 7 ) (43) 
18. Dreht sich die Fläche ODP um 
den Durchmesser DM, so würde für 
rechtwinklige Coordinaten der Körper = 
sein K = nfiß dx. Für schiefwinklige 
bleibt der Halbmesser der sich drehenden 
Zuwachsfläche dasselbe Loth OU von O 
auf DM, mithin hat man den Werth des 
verlangten Körpers 
K=7tS(iJ, sina) i bx,=nsin i aSy, i ' 
Nach Formel 18 ist