Parallelepipedum. 
242 Parallelepipedum. 
dieselbe Grundebene, so kann man zwei 
Seitenebenen des einen P. so weit ver 
breitern, dals sie die verbreiterten Ebenen 
Fig. 879. 
zweier Seitenflächen des anderen P. über 
schneiden. Betrachtet man nun das zwi 
schen den 4 Durchschnittsebenen ent 
standene neue P., so ist dieses nach Satz 
2 dem einen wie dem andern der gege 
benen P. gleich, folglich sind die gege 
benen unter sich gleich. 
4. P. von gleichen Höhen, deren Grund 
ebenen Parallelogramme von einerlei oder 
gleichen Grundlinien und gleichen Höhen 
sind, sind gleich. 
Man denke sich ein P., dessen Grund 
fläche mit abps congruent ist und mit 
dem P. abcdefgh einerlei Höhe hat, so 
lege man dasselbe auf abps und con 
struiré ein P. über abps, dessen Seiten 
kanten mit ae parallel laufen, so sind diese 
beiden über abps befindlichen P. nach 
Satz 3 einander gleich. Das neu con 
struirte P. hat mit dem P. abcdefgh die 
Seitenkanten ae, bf gemeinschaftlich; be 
trachtet man daher in beiden P. die Ebene 
abef als gemeinschaftliche Grundebene, 
so ist an beider Höhe, folglich ist nach 
Satz 3 das P. abcdefgh gleich dem über 
abps neu construirten und also auch gleich 
dem über abps gegebenen P. 
5. P. von gleichen Höhen auf Grund 
ebenen von gleicher Gröfse und gleichen 
Winkeln sind gleich. 
Da die beiden gleichen Grundebenen 
cefg, abcd gleiche Winkel haben, so kann 
man sie, wie Fig. 880 zu Ergänzungs 
parallelogrammen an einander setzen. 
Zieht man die Diagonale hk, so ist Prisma 
über cke = Prisma über cka, Prisma über 
chg = Prisma über chd und Prisma über 
hkf = Prisma über hkb. Die beiden Pris 
men rechts der Diagonale von dem Prisma 
hkb und die beiden Prismen links der 
Fig. 880. 
Diagonale von dem Prisma hkf fortge 
nommen, bleibt P. über cefg — P. über 
abcd. 
6. P. von gleichen Grundebenen und 
gleichen Höhen sind gleich. 
Hat das eine P. eine Grundfläche von 
der Seite = ce, das andere von der Seite 
= cd, so verwandle beide in Grundflächen 
von einerlei Winkel, dann sind nach 
Satz 4 die P. von denselben Seiten ce 
und cd einander gleich, beide letzten P. 
aber gleich nach Satz 5, mithin der Satz 
erwiesen. 
Aus den vorgetragenen Sätzen gehen 
noch folgende hervor: 
7. P. von gleichen Grundebenen verhal 
ten sich wie ihre Höhen und P. von glei 
chen Höhen wie ihre Grundebenen. 
Sind die Grundebenen Rechtecke von 
einer gleichen Seite, so verhalten sich 
P. von gleichen Höhen wie die ungleichen 
Grundkanten. 
Sind die Grundebenen Rechtecke von 
ungleichen Seiten, so verhalten sich die 
P. von gleichen Höhen wie die Producte 
der Grundkanten. 
Gerade P. mit rechteckigen Grundebe 
nen verhalten sich wie die Producte der 
drei ungleichen Kanten. 
8. P. sind ähnlich, wenn ihre homo 
logen Winkel einander gleich sind und 
wenn zugleich ihre homologen Kanten in 
Proportion stehen. 
Die Inhalte ähnlicher P. verhalten sich 
wie die Cubi ihrer homologen Seiten - 
kanten. 
9. Den Inhalt ein es P. durch seine 
Kanten und Winkel auszudrücken. 
Fig. 881.