fürs Dodekaeder = 
1(15 + 71/5) X lt 3 
?i/30(3 + p5)xß 3 
I0y‘2 (65—29|/5)Xr 3 
]/3 x k- 
§ ]/3 x ß 2 
8 ]/3 x r 2 
2 |/3 X ft 2 
4 j/3 X ß 2 
12 |/3 X r 2 
5 | 3 X Ä* 
2 (5 - v'5) }/3 x ß 2 
30(7-31/5) J/3xr a 
6 x A 2 
8 X ß 2 
24 X r 2 
3 j/5 (5 + 2p5)x A 2 = 
21/10 (5 - V'5) X ß 2 = 
30L2(65-29p5)xr 2 = 
25. Stereometrische Construc- 
tionen. 
Von diesen haben diejenigen, welche 
durch Euklid zu uns gekommen sind, das 
gröfste, besonders ein geschichtliches In 
teresse. 
1. Aufgabe (Buch XII, 17 Satz). Es 
sind zwei concentrische Kugeln 
gegeben, man soll in die gröfsere 
ein Polyeder beschreiben, welches 
mit seiner Oberfläche die kleinere 
Kugel nicht berührt. 
Es sei DEBP die gröfsere Ilalbkugel- 
oberfläche; durch beide Kugeln sei durch 
deren gemeinschaftlichen Mittelpunkt C 
eine Ebene gelegt, so bildet diese zwei 
gröfste Kreise, den äufseren BEDF und 
den ihm concentrischen inneren GJKH. 
Fig 898. 
Zeichne deren normal auf einander befind 
liche Durchmesser BD, EF, beschreibe 
in dem ersten Quadrant des gröfseren 
Kreises BEDF die Seiten eines gleich 
seitigen Polygons von gerader Seitenan 
zahl, welches den kleineren Kreis nicht 
berührt. 
Ziehe nun aus der an B nächsten 
Spitze L des Polygons den Halbmesser 
LC, verlängere denselben, bis er den Kreis 
nochmals in 0 schneidet, errichte auf 
der Kreisebene BEDF in dem Mittel 
punkt C eine Normale CF bis in den 
Umfang der gröfseren Kugel; durch die 
gerade Linie CP und jeden der beiden 
Durchmesser BD, LO lege zwei Ebenen, 
welche also auf der Kugeloberfläche 
gröfste Kreise bilden, deren Hälften DPB 
und OPL sichtbar sind. 
Die Linien DB, LO, EF als 
Durchmesser, und eben so die Qua 
dranten BP, LP, BE derselben Ku 
gel sind einander gleich und es las 
sen sich also auch in BP und LP 
dieselben Polygonseiten eintragen. 
Ziehe hierauf die geraden Verbin 
dungslinien L'/, M'm, N’n, so sind 
jedes der Vierecke, so wie das oberste 
Dreieck N'nP ebene Figuren. 
Dadurch nun, dafs man von den 
Punkten N', n, M’, m, L’, I nach dem 
Mittel C gerade Linien zieht, ent 
steht zwischen den beiden Quadran 
ten BP und LB ein aus Pyramiden 
zusammengesetztes Polyeder von der 
gemeinschaftlichen Spitze C und de 
ren Grundflächen die schon gedachten 
Vierecke und ein Dreieck ausmachen.