Polyeder. 
Polyeder. 
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Fig. 901. 
richte auf der Kreisebene in // die Nor 
male IIK = AC, ziehe KE, KE, KG, so 
ist der Körper von der Grundfläche EFG 
und der Spitze K das verlangte Tetra 
eder. 
Beweis. 1. dafs der Körper ein 
Tetraeder ist. 
KH bildet mit HE, HF, HG rechte 
Winkel. Da nun HE = HF — IIG, so ist 
auch KE = KF = KG. 
Nun ist AB : BC = □ AI) : □ DC 
Da nun HI(=AC-, IIE - HF= HG= DC 
so ist KE = KF = KG — AD 
Aber AC = 2BC, also AH = 2>BC 
also OAD = 3Q DC 
und da DC = EH 
UAD = UEF=SUEH 
folglich AD = EF = EG = FG 
und zugleich AD = KE = KG = KF 
folglich sind sämmtliche den Körper ein- 
schliefsende Dreiecke gleichseitig und con- 
gruent. 
2. Dafs der Körper von der ge 
gebenen Kugel umfafst wird. 
Verlängere die KH um die Länge HL 
= BC, so ist AB = KL. 
Da nun AC: CD — CD -. CB 
Aber AC = KH, CD = HE, CB = IIL 
so ist auch KH : HE — HE: HL 
folglich EH normal KL, Z.EHK = /_EHL 
= B und ein über KL beschriebener Halb 
kreis geht durch den Punkt E. 
Dreht man nun diesen Halbkreis mit 
seinem Durchmesser KL um seinen Mit 
telpunkt, so trifft er eben so durch die 
Spitzen G und F. Es liegen also die 4 
Eckpunkte des Tetraeders in der Kugel 
oberfläche, deren Durchmesser AB ist. 
3. Aufgabe. Ein Octaeder, wel 
ches sich von einer gegebenen Ku 
gel umfassen läfst,zuconstruiren. 
Ist, Fig. 900, AB der gegebene Durch- 
messer der Kugel, so errichte in dessen 
Mittelpunkt M den winkelrechten Halb 
messer MN, ziehe NA. 
Construire nun, Fig. 902, ein Quadrat 
EFG//, von der Seite = AN, ziehe FH, 
EG, die sich in K schneiden. Errichte 
auf EFGH in K die Winkelrechte KL mit 
Verlängerung rückwärts nach M, mache 
KL — KM = einer der Linien KE, KF, 
KG, KH. Ziehe von L und M gerade 
Linien nach E, F, G, II, so ist der ent 
standene Körper das verlangte Octaeder. 
Fig. 902. 
Beweis. 1. Dafs der Körper ein 
Octaeder ist.' 
KE = KH, Z EKH= li 
folglich OHE = 2 OKE 
Nun ist auch LK = EK und Z.LKE = R, 
also OEL = 20 EK 
folglich O HE = OLE und HE = LE 
Aus gleichen Gründen LH = EH, 
folglich A LEU gleichseitig. 
Auf ähnliche Art wird bewiesen, dafs 
die Dreiecke L EF, L FG, L G1I auch gleich 
seitig und dem ALE// = sind, so wie 
auch die vier Dreiecke unterhalb der 
Ebene EFGH mit der gemeinschaftlichen 
Spitze i\l, folglich ist der von den Drei 
ecken begrenzte Körper ein Octaeder. 
2. Dafs sich das Octaeder von der 
gegebenen Kugel umfassen läfst. 
Es ist LK = I(M=KE; mithin liegt 
der Punkt E in einem über LM als Durch 
messer beschriebenen Halbkreis. Drehet 
man diesen Halbkreis um seinen festen 
Durchmesser LM herum, so geht er aus 
demselben Grunde auch durch die Punkte 
F, G, //, folglich liegen die Ecken L, M,