Polyeder. 
288 Polyeder. 
Fig. 904. 
Beweis. 1. Dafs VBXCW eine 
gleichseitige Figur ist. 
Ziehe BR, BS, BW. Der Theilung zu 
folge ist 
□ FiV + □ NR — 3D PR 
aber PN = BN 
und PR = RV 
folglich □ BN -f □ NR = 3G ß F 
Nun ist OBN + \JNR = OBR 
folglich ist □ BR =3G71F 
folglich AORV = \JBR+aüV=OBV 
folglich 2 RV — BV 
Nun ist RS = 2RP = 2RV 
also RS=VW=2RV 
folglich ist BV = VW 
Auf dieselbe Weise wird die Gleichheit 
der übrigen Seiten des Fünfecks BVWCX 
bewiesen. 
2. Dafs die Figur in einer Ebene 
ist. 
Ziehe durch P die PY den Linien 
RV, SIF, verbinde Y, H und //, X, so 
ist YHX eine gerade Linie. 
Denn da IIQ in T nach stetiger Pro 
portion geschnitten, und QT der gröfsere 
Abschnitt ist, so ist 
HQ:QT= QT ■ TH 
Aber HQ = HP und QT - TX = PY-, 
folglich diese Werthe eingesetzt: 
folglich HP : PY=TX:TH 
Nun ist HP=Y TX und LH mit 77/4= PY. 
Erstere, weil sie auf der Ebene BD, 
letztere, weil sie auf der Ebene BF win 
kelrecht sind, folglich sind HY, HX in 
gerader Linie, folglich ist die Figur 
BVWCX, in welcher die ganze XY ist, 
in einer Ebene. 
3. Dafs die Figur gleichwinklig 
ist. 
Da NP nach stetiger Proportion in R 
geschnitten und PR der gröfsere Ab 
schnitt, so ist 
PN + PR : PN = PN: PR 
Nun ist PR = PS 
also NP + PR = NS 
also NS : NP = NP : PS 
folglich ist NS nach stetiger Proportion 
in P geschnitten und NP der gröfsere 
Abschnitt, folglich 
\JNS + OSP=S[jPN 
aber PN = BN und SP = S W 
folglich QNS + OSW = 3DiVß 
folglich auch 
\JNB +\JNS + OSW = 4QNB 
Nun ist □ NB + □ NS = □ BS 
folglich ist 
4UNB = OBS + C\SW = OBW 
folglich BW = 2NB = BC 
Nun war nach Beweis 1. 
auch BV — BX und VW = CA' 
Folglich ist Z. BVW = BXC 
Auf eben die Art wird die Gleichheit 
der Winkel VWC, BXC bewiesen, folg 
lich ist BVWCX gleichwinklig. 
4. Dafs sich dieses Dodekaeder 
von der gegebenen Kugel umfas 
sen läfst. 
Verlängere YP bis in das Innere des 
Würfels nach Z, so trifft YZ die Diago 
nale des Würfels, so dafs beide in Z ein 
ander halbiren. Folglich ist Z der Mit 
telpunkt der Kugel, die den Würfel um- 
fafst und PZ gleich der halben Seite PN 
des Würfels. Ziehe FZ. 
Da NS nach stetiger Proportion ge 
schnitten und NP der gröfsere Abschnitt 
ist, so ist 
BNs+asp=3QNP 
Nun ist NP-PZ und PS = PY 
also NS = YZ 
Auch ist SP=RP 
also SP= VY 
folglich UYZ -\-QYV = QVZ = 3QNP 
Nun ist das Quadrat des Durchmessers 
der Kugel gleich dem dreifachen Quadrat 
der Seite des Würfels, also auch das 
Quadrat des Halbmessers dem dreifachen 
Quadrat der halben Seite NP-, folglich 
ist VZj der Kugelhalbmesser, Z der Mit 
telpunkt und der Punkt V in der Kugel 
fläche. Auf ähnliche Art wird bewiesen, 
dafs aufser V auch jeder andere Eckpunkt