Polyeder. 
289 Polygon. 
des Dodekaeders in der Kugelfläche liegt; 
folglich, wird das Dodekaeder von der Ku 
gel umfafst. 
26. Die Seiten der fünf regelmä- 
fsigen Körper zu finden. 
Es sei AB der Durchmesser der um 
die Körper beschriebenen Kugel, in C 
und D so geschnitten, dafs AC = BC und 
AD = 2BD. Errichte in C und D Win 
kelrechte CE, DF bis an den Halbkreis, 
ziehe AF, BF, schneide BF in N nach 
stetiger Proportion, so dafs BN der grö- 
fsere Abschnitt ist. Errichte in A die 
Winkelrechte AG — AB auf AB ziehe CG, 
welche den Halbkreis in H schneidet, 
fälle die Winkelrechte HK auf AB, mache 
CL — CK, so dafs also LK = 2CK ist, 
errichte endlich auf AB in L die Win 
kelrechte LM, so ist 
AF die Seite des Tetraeders 
BF die Seite des Hexaeder 
BE die Seite des Octaeders 
BN die Seite des Dodekaeders 
BM die Seite des Ikosaeders. 
Die Beweise der Constructionen gehen 
aus den Untersuchungen No. 25 hervor. 
Fig. 905. 
1. Fürs Tetraeder. 
Die Theilung des Durchmessers AB in 
dem Punkt D stimmt genau mit der 
Theilung des Durchmessers AB in dem 
Punkt C der Fig. 900 für das Tetraeder. 
Dort ist 
AC = 2BC, also AB-ZBC und folglich 
Afl = $AC. 
Da nun AB.AC=[JAB:\JAU 
so ist auch QA/i = JQAD 
wo AB der Durchmesser der gegebenen 
Kugel und AD die Tetraederseite ist. 
Nun ist AF, Fig. 905 = AD, Fig. 900 
AB, Fig. 905 = AB, Fig. 900 
Folglich ist AF die Seite des in die 
IY. 
Kugel vom Durchmesser AB beschriebe 
nen Tetraeders. 
2. Für das Hexaeder. 
Auch hier ist durch D dieselbe Thei 
lung, Fig. 900 durch den Punkt C. Es 
ist dort BD als die Seite des in der Ku 
gel vom Durchmesser AB beschriebenen 
Würfels erwiesen, folglich ist auch Fig. 
904, BF die Seite des von der Kugel des 
Durchmessers AB umfafsten Würfels. 
3. Für das Octaeder. 
Die Richtigkeit der Construction geht 
aus No. 25, 3 hervor. 
4. Für das Dodekaeder. 
Nach No. 25, 6 ersieht man mit Fig 
904, dafs die Seite des in die Kugel ein’ 
beschriebenen Würfels so getheilt werden 
mufs, um die Seite des Dodekaeders zu 
geben wie Fig. 905 dieselbe Seite BF des 
Quadrats, und dafs also die Construction 
richtig ist. 
5. Für das Ikosaeder. 
Fig. 905. ist AG = AB = 2AC 
also auch HK — 2CK 
also □ÄÄ = 4QCÄ’ 
also OHC = QHK+OCK=baCK 
Da nun HC=BC, also OHC = C\BC 
so ist UCB = bUCK 
Nun ist AB = 2BC 
und LK — 2 CK 
folglich □AR = 4DßC = 20DCÄ 
also OAB = ÖOLK 
Nach No. 25, 5 ist also LK die Seite 
des Sechsecks in demjenigen Kreise, von 
dem aus die Verzeichnung der Seite des 
verlangten Ikosaeders geschieht. 
Nun ist AK = LB 
also AB=LK-\-2LB 
folglich ist LH die Seite der sechsseiti 
gen und LB die der zehnseitigen Figur 
in jenem Kreise der die Verzeichnung 
der verlangten Seite bestimmt und die 
angeführte Construction ist richtig. 
Polyedralzahlen sind in dem Art. „Fi- 
gurirte Zahlen“ ausführlich abgehan 
delt. 
Poiyedrometrie ist die Lehre von den 
Polyedern. 
Polyedron, s. v. w. „Polyeder“. 
Polygon, Vieleck ist eine ebene ge 
radlinige Figur, welche von mehr als vier 
geraden Linien eingeschlossen wird. 
Figuren, die von drei, von vier geraden 
Linien eingeschlossen werden, heifsen 
Dreiecke, Vierecke. Die das P. ein- 
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