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Polygon. 
Polygon. 
schliefsenden geraden Linien heifsen Sei 
ten, die von je zwei zusammentreffenden 
Seiten eingeschlossenen Winkel heifsen 
Polygonwinkel oder schlechtwegWin- 
kel, Seiten und Winkel führen den ge 
meinschaftlichen Namen Stücke, Po 
lygonstücke. Die Punkte, in welchen 
die Seiten Zusammentreffen sind die 
Spitzen. Gerade Verbindungslinien 
zweier Spitzen, ohne dafs sie Seiten sind, 
die also innerhalb des P. fallen, heifsen 
Diagonalen. 
Das P. wird nach der Anzahl seiner 
Seiten speciell bekannt und heifst Fünf 
eck, Sechseck u. s. w. Für Ermittelung 
von Gesetzen, die allen Vielecken, ab 
gesehen von der Anzahl deren Seiten zu- 
kommen, bezeichnet man die Anzahl der 
Seiten mit n und das Vieleck mit dem 
Ausdruck neck. 
2. Jedes neck hat n Seiten, n Winkel, 
n Spitzen. 
3. Jeder Polygonwinkel macht mit 
seinem äufseren Winkel zusammen 
4 Rechte, mit seinem Nebenwinkel 
zusammen 2 Rechte aus. 
Ist der P.-winkel hohl, so ist der Neben 
winkel ein äufserer, ist er erhaben, ein 
innerer; auch mit diesem ist der P. 
winkel zusammen = 2ß, wenn der Neben 
winkel negativ genommen wird. 
Die Summe der inneren und der äufse 
ren P.winkel ist =4nR, die der inneren 
— (2n — 4)ß, also die der äufseren = 
(2n -f 4) R. Die Summe der äufseren ist 
also in jedem neck um 8R > als die 
Summe der inneren P.winkel. 
4 Ein nek kann höchstens (n — 3) er 
habene Winkel haben, denn bei (n — 2) 
erhabenen Winkeln wäre deren Summe 
> (2n - 4) R. 
Ein neck, wenn es nur hohle Winkel 
hat, kann nicht mehr als 3 spitze Win 
kel haben, denn bei 4 spitzen Winkeln 
würde die Summe der äufseren Neben 
winkel > sein als 4 R. 
5. In jedem neck beträgt die algebra 
ische Summe sämmtlicher Nebenwinkel 
= 4R, denn die Summe der P.winkel ist 
= (2n — 4) R, die Summe derselben + der 
Summe sämmtlicher Nebenwinkel = 2nR. 
6. Ein neck mit nur hohlen Winkeln 
(n= 4 ausgenommen) kann nicht mehr 
als 3 Rechte haben, denn deren Neben 
winkel würden zusammen mehr als 4ß 
betragen. 
7. Die Anzahl der von einer Spitze ab 
zu ziehenden Diagonalen beträgt n — 3; 
es sind also überhaupt in einem neck 
n (n — 3) Diagonalen zu ziehen möglich, 
von welchen aber jede doppelt, vorwärts 
und rückwärts gezogen wird, die Anzahl 
der möglichen Diagonalen in einem n eck 
ist also = (n — 3). 
Durch die von einer Spitze aus gezo 
genen h — 3 Diagonalen wird das neck 
in » — 2 Dreiecke getheilt, deren Winkel 
zusammen = der Summe der P.winkel 
sind. Da nun die 3 Winkel eines Drei 
ecks zusammen 2 Rechte betragen , so ist 
die Summe der Umfangswinkel eines necks 
= 2 (n — 2) R - (2n — 4) Rechten. 
8. Macht man aus einem neck durch 
Hinzufügung einer Seite ein (n + l)eck, 
so vermehrt sich die Summe der Um 
fangswinkel um 2R. 
Fällt das hinzukommende Dreieck aufser- 
halb der Figur, so ist die Richtigkeit augen 
scheinlich. Es sei der Schlufs des necks 
ab cd-, durch Hinzufügung der beiden 
Seiten bx, cx mit Hinweglassung der 
Seite bc entstehe das (n-f l)eck abxcd. 
Fig. 906. 
Bei der Winkelbezeichnung 
bestanden die Winkel des necks aus: 
« + ß •+■ y + d 
bestehen die Winkel des (n + l)ecks aus: 
« + 4 R — f + J 
Und es soll sein 
a + ß + y + d + 2R = u + 4R - i + J 
a und J beiderseits subtrahirt und ß + y 
= 2/i — f gesetzt ergibt die Richtigkeit 
des Satzes. 
9. Bezeichnet man die aufeinander fol 
genden Winkel eines P. mit «, ß, y, J 
...., denkt sich dann die Seiten alle 
entweder rechts oder links (aus einem 
Standpunkt innerhalb der Figur betrach 
tet) verlängert und bezeichnet die Win 
kel zwischen jeder Verlängerung und der 
folgenden Seite mit a, b, c, d...., so 
ist, wenn man diejenigen dieser Winkel, 
welche aufserhalb der Figur fallen, po 
sitiv, die welche innerhalb fallen, nega 
tiv nimmt, die algebraische Summe S 
der Winkel a, b, c, d ... jederzeit = 4/i. 
Denn es ist a-\-a — ß-\-b = y-\-c....