Polygon. 
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Polygon. 
A = n • A pmg 
a = n • A Amt 
A = 2n • Amc 
Man hat demnach 
a = m L\hmt = 2n /\hrnk 
b = 2m • A Amc 
Da nun Z_pmc = /^gmc, so kann man 
auch schreiben 
A — 2n • Apmc 
a = 2n • /shmk 
b = 2n • A Amc 
Es folgt hieraus 
1. A : b = &pmc :&hmc 
= pm : Am = cm: km 
2. b : a = A Amc : A AmA = cm : Am 
Aus beiden Proportionen folgt 
A:b=b:a 
20. Ist die ganze Zahl n mindestens 3, 
so verhält sich der Inhalt a jedes regel- 
mäfsigen necks in einem Kreis A zur 
halben Summe der Inhalte desselben und 
des regelmäfsigen 2necks in A, wie der 
Inhalt B des regelmäfsigen 2necks um 
A zum Inhalt A des regelmäfsigen necks 
um A, d. i. 
o ; = B s A. 
2 
Es ist wie im vorigen Satz 
Ai eine der n Seiten von a 
hc eine der 2n Seiten von b 
pg eine der n Seiten von A 
qd eine der 2n Seiten von B. 
A = n • A pmg = 2n Apme 
B ~ 2n A qmd = 4n • A ymc 
und hieraus wie im vorigen Satz 
a : b = Am : cm 
auch 
a:b = km:hm — cm : pm = og : pq 
folglich 
1. a : a -{■ b = cq : cp 
ferner B : A = 2Acmg : A cmp 
oder 
2. B : 2 A = A cmq : A cm p = cg : cp 
Also aus 1 und 2 
a : « + A = B : 2A 
oder a : ^ (a + A) = B : A 
21. Betrachtet man a und A als ge 
geben oder bekannt, so folgt aus den 
beiden vorigen Sätzen 
1. b = ]/a • A und 2. B — —■■ 
zt + }/a • A 
Für n = 4, r der Halbmesser des zu 
gehörigen Kreises 
« = 2r J ; A = 4r 2 
Also die Inhalte der regelmäfsigen Acht 
ecke in und um den Kreis 
b = |/2r 2 • 4r a = 2r* F2 
2 • 2r l • 4r 2 
2r a -f j/2r 2 • 4r 2 
1+V2 
= 8(V2-l)r 2 
Setzt man wieder a = 2r 2 y'2 und A 
= 8 (j/2 — 1) r 2 
so erhält man die Inhalte der regelmä 
fsigen Sechzehnecke in und um den Kreis 
b = 4r 2 ]/2 — ]/2 und 
/? = 16r 2 (- 1 - ]/2 + V'4 + 2 1/2) 
u. s. w. 
22. Jedes regelmäfsige P. ist = einem 
Dreieck, welches den Umfang des P. zur 
Grundlinie und die Normale (A) aus dem 
Mittelpunkt auf einen seiner Seiten (a) 
zur Höhe hat: J = %nah. 
Die Höhe A oder der Halbmesser r des 
inbeschriebenen Kreises ist = 
/2 n — 4 
t a ‘ 3 '{-*r R )’ 
der Halbmesser R des darum beschriebe 
nen Kreises ist = 
. /2n-4 \ 
1 \ 2n ) 
23. Bezeichnet man Fig. 908 
mit r den Halbmesser mc des Kreises, 
mit s die Seite hl des regelmäfsigen necks 
im Kreise, 
mit s 1 die Seite hc des regelmäfsigen 
2necks im Kreise, 
mit S die Seite pg des regelmäfsigen 
necks um den Kreis, 
mit s den Centriwinkel pmg für eine Seite, 
mit y den Umfangswinkel, 
mit J den Inhalt des inneren necks, 
mit J’ den Inhalt des äufseren necks, 
so hat man 
|/ 4 .v, 2 — s 2 
2. s = — |/4 r* — s, 2 
r 
3. s, = V2r s — r yAr 1 — s 2 
24. Aus Formel 2 und 3 findet man 
die Seiten der regelmäfsigen P. im Kreise