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Problem, beaunisches. 
Product. 
Es ist die Subtangente PR-y gy 
also nach der Bedingung der Aufgabe 
dy: 8# = a : y — x 
d. h. ad x = y dy — x dy. 
In dieser Differenzialgleichung sind die 
veränderlichen Gröfsen nicht gesondert. 
Inzwischen hat man hier nicht nötliig, 
eine Substitution oder einen Multiplicator 
zu suchen. Man subtrahire auf beiden 
Seiten das Differenzial ady, so ist 
a 9« — ady = y dy — x dy — a dy 
oder 
so ist logn 
- X — y 
n- 
ln 
und ln 
a + x — y 
const, 
const. 
u 
const. 
JL 
a 
= + -*- 
a + x-y 
Soll die krumme Linie durch den An 
fangspunkt der Abscissen gehen, so ist 
der Logarithmus = 0 wenn y — 0 und die 
zugehörige Zahl ist =1, also Const. — a 
, « V 
und logn — = —. 
a -f- x — y a 
Man nehme auf der Abscissenlinie AC 
— a, ziehe CV unter dem Winkel von 
45° oder --L AB, verlängere RM bis an 
CV in S, so ist MS — a -\- x — y- Es sei 
MT dp CP, so ist auch MT —a + x — y 
und CT = y y2. 
Man setze TM = u, CT = z, 
so ist ln — = 
u ay 2 
Es ist also die krumme Linie eine lo- 
garithmische, deren Asymptote CV ist. 
Dafs die Coordinaten CT, TM einen Winkel 
von 45° machen, ist kein wesentlicher 
Unterschied von derjenigen, wo der Coor- 
dinatenwinkel ein rechter ist. Die be 
rührende RM schneide die Asymptote in 
V. Ebenso wie bei rechtwinkligen Co 
ordinaten ist TV = — • Aus der 
du 
Gleichung zwischen u und a folgt 
= -^-, also ist TV = a ]/2 oder die 
a 1/2’ 
Subtangente auf der Asymptote ist un 
veränderlich wie an der logarithmischen 
mit rechtwinkligen Ordinaten. 
Dieses hat Descartes gefunden. Er 
läfst die krumme Linie durch die stetige 
Durchschneidung zweier geraden Linien 
beschreiben, deren eine sich =P mit AB, 
die andere d= mit AC von dem Punkt 
A an bewegt. Die Geschwindigkeit der 
ersteren läfst er gleichförmig sein, die 
Geschwindigkeit der anderen aber zuneh 
men nach dem umgekehrten Verhältnifs 
des auf AC noch rückständigen Weges 
für die* mit AB parallele. In A sollen 
beide Geschwindigkeiten 'gleich grofs sein. 
Dieses ist ganz richtig. Die mit AB pa 
rallele sei in LM, die mit AC parallele 
in TM, ihr Durchschnitt M. Es sei AL 
-t und LM = CT = z, so ist der senk- 
rechte Abstand der TM von AC = y = 
Die Geschwindigkeiten der Linien LM, 
TM, jener nach der Richtung AL, dieser 
nach der Richtung PM verhalten sich 
wie dt- dy. Nun ist t-a — u, also dt 
= — Qu die Gleichung zwischen u und z 
gibt Daher ist Di : dy = 
a — t 
In A, wo l = 0 ist, ist dt: by = 1 : ——. 
Man kann auch, wie man hieraus sieht, 
TM sich gleichförmig und LM sich un 
gleichförmig bewegen lassen, sowie man 
die Logarithmen ursprünglich in arith 
metischer Progression, die zugeordneten 
Zahlen in geometrischer sich vorstellt. 
Product ist die Gröfse, welche aus der 
Multiplication zweier oder mehrerer Zah 
len entsteht. Wie ein Product numeri 
scher Gröfsen gefunden wird, lehrt die 
gemeine Arithmetik, s. „Multiplica 
tion“. Für allgemeine Gröfsen, als Zah 
len betrachtet, zeigt es die Buchstaben 
rechnung, für Reihen insbesondere die 
Combinationslehre. 
2. das Product (1 - s 2 ) (1 — i& 2 ) (1 - (1 — T V" 2 ) u - s - w - ist = ——— und 
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das Product (1 -- s 2 ) (1 — £s 2 ) (1 — 25& 1 ) u. s. w. = cos %nz. 
Denn es ist sin cp = cp — ¿qp 3 + x £ ff qp 5 — u. s. w. 
und cos cp = 1 — £qo 2 + — T + ... 
Die erste Reihe wird = 0, wenn cp = 0 Setzt man daher für cp die Gröfsen nz 
oder qp ein Vielfaches von ± n wird, und und %nz, so haben die obige Reihen ihre 
die zweite Reihe wird = 0, wenn cp ein Richtigkeit und Gültigkeit, 
ungerades Vielfaches von wird.