iecks kann aber 
r beiden Bogen 
von BAC liegt, 
innerhalb des 
r der Spitze A 
= aR, ein con- 
3 nicht möglich 
b des Dreiecks 
IC = ^R ist, so 
olglich die drei 
dilossenen Win- 
die beiden Bo- 
welche %R fas 
unkt schneiden 
h nur einen 
)reieck, dessen 
nnerhalb immer 
flehen die von 
ogenen Linien 
¡en, so gibt es 
mer auch einen 
ig nach No. 21 
ir einen Punkt 
ibe es nämlich 
?enigstens zwei 
;ebildeten Win- 
is nach No. 22 
o diese Winkel 
M' wäre aber 
mittleren Ent- 
, CM' von M’ 
nkte. Folglich 
den beiden un- 
h als Schenkel 
AM’, BM', CM’ 
dinaten der auf 
den gleichweit 
te nach No. 3 
:hes jedoch we- 
Yinkel offenbar 
k einen Winkel 
t so kann der 
ig nicht inner 
es =A;liC=äß 
g MAB < I R, 
sin müfste. 
Punkt kleinster Entfernung. 331 Pyramide. 
ntfernung. 
der Punkt kleinster Entfernung überhaupt 
eben so wenig liegen als außerhalb des 
Dreiecks, weil sich von einem solchen 
Punkt nie nach den Spitzen drei gleiche 
Winkel mit einander einschliefsende ge 
rade Linien ziehen lassen, wie es doch 
in vorliegendem Fall möglich sein nitifste 
(23). Daher mufs der Punkt kleinster 
Entfernung in zwei Seiten zugleich, d. h. 
in einer Spitze des Dreiecks liegen. Da 
aber offenbar BA + BC > AB + AC, 
CA + CB > AB + AC ist, so mufs der 
Punkt kleinster Entfernung in der Spitze 
C des stumpfen Winkels liegen. 
Pyramide ist ein Körper, der von einer 
drei- oder mehrseitigen Figur als Grund 
fläche und von so vielen Dreiecken als 
diese Grundfläche Seiten hat als Sei 
tenflächen, die alle in einem Punkt 
der Spitze zusammen treffen, begrenzt 
wird; der Abstand der Spitze von der 
Grundfläche ist die Höhe der Pyramide. 
2. Wird eine Pyramide mit Ebenen 
parallel ihrer Grundfläche geschnitten, 
so sind die Durchschnitte der Grund 
fläche ähnlich und ihre Flächen verhal 
ten sich zur Grundfläche wie die Qua 
drate ihrer Abstände von der Spitze zu 
dem Quadrat des Abstandes der Grund 
fläche von der Spitze. 
Denn ist EFG eine der Grundfläche 
BCD parallele Durchschnittsebene, dann 
sind die Durchschnittslinien dieser Ebene 
mit den Seitenflächen der Pyramide den 
Seiten der Grundfläche parallel, nämlich 
EF+ CD, EG 4= BD, FG + BC. Deshalb 
y_EFG - Z_BCD u. s. w. 
Fig. 931. 
Die Durchschnittsfigur und die Grund 
fläche sind also in einerlei Folge gleich 
winklig, weil FG =h BC, und so ist 
FG : BC= AF-.AC 
und weil EF^CD 
EF: CD = AF-.AC 
daher FG: BC = EF: CD 
Schliefst man so fort, so folgt, dafs 
die Seiten beider Ebenen, die an glei 
chen homologen Winkeln liegen , je zwei 
und zwei einander proportional sind, mit 
hin sind Durchschnitt und Grundfläche 
einander ähnlich. 
All sei ein Loth auf die Grundfläche 
aus der Spitze gefällt. Dieses schneide 
die Durchschnittsebene in J, ziehe BH, 
GJ, so sind diese parallel. Daher 
AH:AJ = AB:AG = BC: FG 
daher ist AIP : AJ 2 = BC 2 : FG 2 . 
Aehnliche Figuren verhalten sich aber 
wie die Quadrate homologer Linien, also 
Grundfläche BCD : Durchschnittsfläche 
EFG = BC 2 : FG 1 = AR 2 : AJ 2 . 
2. Der Inhalt einer Pyramide ist das 
Product aus dem Drittheil der Höhe und 
dem Inhalt der Grundfläche. 
Denn es sei g der Inhalt der Grund 
fläche und h die Höhe der Pyramide. 
Diese Höhe theile man in eine beliebige 
Anzahl gleicher Theile, lege durch die 
Theilpunkte Ebenen parallel zur Grund 
fläche, so zerlegen diese die Pyramide in 
n Theile, deren Inhalte, von der Spitze 
abgezählt, der Reihe nach mit p, p a ... p n 
bezeichnet seien. Zwischen je zwei näch 
sten Durchschnitten denke man sich Pris 
men construirt, deren eine Seitenkante 
mit einer Seitenkante der Pyramide zu 
sammenfällt und wovon das eine den 
oberen, das andere den unteren Durch 
schnitt zu Endflächen, beide aber den 
Abstand der beiden Durchschnitte, also 
— h zur Höhe haben; so erhält man zwei 
n 
Reihen von Prismen; die Prismen der 
einen Reihe sind Theile der zwischen die 
selben Durchschnitte fallenden Pyramiden- 
theile, also kleiner als diese Theile, die 
Summe ihrer Inhalte also kleiner als der 
der Pyramide. Dagegen sind von den Pris 
men der anderen Reihe die zwischen den 
selben Durchschnitten liegenden Pyra 
midenstücke nur Theile, die Prismenstücke 
also gröfser als die zugehörigen Pyrami 
denstücke. Die Summe ihrer Inhalte 
also gröfser. Die Prismen der ersten 
Reihe sind also inwendige Prismen, die 
Durchschnitte, welche durch den (»t— 1) 
und den »iten Theilpunkt der Höhe von 
der Spitze abgezählt gehen, haben die 
, .. , m — 1 , . m , 
Abstande h und —• h von dieser 
n n 
Spitze. Bezeichnet man diese Durch 
schnitte mit g m _j und g m , so hat man 
nach dem vorigen Satz