Pyramide. 
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Pyramide. 
Also ist g m _j = 
Eben so folgt g m = g . 
Der Inhalt des inwendigen Prisma zwi 
schen diesen beiden Durchschnitten ist 
daher 
1 / (»» - l) 2 . 
n 1 n s 
der Inhalt des auswendigen Prisma 
n m n 3 
Zwischen diesen beiden Inhalten ist 
nun der Inhalt p m des zwischen densel 
ben Durchschnitten liegenden Pyramiden 
stücks begriffen, man hat also 
(tu — 1 \® 
- 1)*. 
3— h 9 < P, 
hg. 
Setzt man in diese Vergleichung für 
m die Reihe der natürlichen Zahlen von 
1 bis n, so erhält man eine Reihe von 
n Vergleichungen für alle einzelnen Py 
ramidenstücke : 
0 , l 2 
-3 hg < p, < -3 hg 
n 6 n d 
1 , 2 2 
- h g<p 2< -hg 
2 3 2 
-~lig<p <— hg 
n s n 3 
(m — l) 2 , m 2 , 
3—hg <p < —3 hg 
n A n n 6 
bezeichnet man den Inhalt der ganzen 
Pyramide mit p, so ist 
P = P, + P2 +Ps +• •• -Pn 
und wenn man die n Vergleichungen ad- 
dirt, so erhält man 
l 2 + 2 2 + 3 2 + ...(« — I) 2 l 2 + 2 2 + 3 2 + ... m 2 
-3 hg < p< -3 hg 
Nun ist aber 
l 2 + 2 2 + 3 2 +...(n— l) 2 
. I 2 + 2 2 + 3 2 + ... n 2 
hg < &hg < hg 
Mithin fällt p und frhg zwischen einerlei 
einschliefsende Gröfsen, deren Unterschied 
— hg=—hg, der also, weil n be- 
n 6 n 
liebig grofs genommen werden kann, sich 
beliebig klein machen läist. Folglich 
müssen die zwischen begriffenen Gröfsen 
einander gleich sein. 
Anmerk, gh ist der Inhalt eines 
Prisma von der Grundfläche g und der 
Höhe h, folglich ist eine Pyramide der 
dritte Theil eines Prisma von gleicher 
Grundfläche und gleicher Höhe. Sind G 
und // dasselbe für eine Pyramide P, 
was g und h für die Pyramide p sind, 
so hat man p:P = gh:GH, d. h. Pyra 
miden verhalten sich wie die Producte 
aus Grundflächen und Höhen Sind also 
die Grundflächen zweier Pyramiden gleich 
und die Höhen gleich, so sind auch die 
Pyramiden gleich. 
3. Der Theil einer Pyramide, begriffen 
zwischen den Grundflächen und einem 
damit parallel geführten Durchschnitt; 
d. h. der Inhalt einer abgekürzten Pyra 
mide ist dreien Pyramiden zusammenge 
nommen gleich von einerlei Höhe mit 
der abgekürzten, deren Grundflächen aber 
der Reihe nach die untere Endfläche, die 
obere Endfläche der abgekürzten und das 
geometrische Mittel derselben sind. 
Denn es sei ABCDEF eine dreiseitige 
abgekürzte Pyramide. Man lege sowohl 
durch die Punkte A, C, E als durch C, 
E, F eine Ebene, so wird dadurch die 
abgekürzte Pyramide in drei vollständige 
Pyramiden ABCE, DEFC und ACFE 
zerlegt. Betrachtet man von den beiden 
ersten die Dreiecke ABC und DEF als 
Grundflächen, so haben diese einerlei 
Höhe mit der abgekürzten und sind also 
die beiden zuerst genannten Pyramiden. 
Zieht man durch E in ABEF mit der 
Kante AF die Parallele EG und verbin 
det C mit G, so ist CG parallel der Ebene 
des Dreiecks ACF. Betrachtet man also 
bei der dritten Pyramide ACFE jenes 
Dreieck als Grundfläche, so ist sie auch 
gleich einer Pyramide über derselben 
Grundfläche, die ihre Spitze in G hat. 
Die Eckpunkte dieser zweiten Pyramide 
sind aber bei diesen A, C, G, F. Man 
kann also das A ACG als ihre Grund 
fläche betrachten, wo dann F ihre Spitze, 
wo sie dann einerlei Höhe mit der ab-