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Pyramide. 
Fig. 932. 
333 
Pyramide. 
gekürzten Pyramide hat: es ist also nur 
noch zu zeigen, dafs das AACG das geo 
metrische Mittel zwischen den Endflächen 
ABC und DEF. 
Nun ist 
A ABC : A ACG = AB : AG = AB : EF 
= AC: 1)F= A ACG : A DEF 
weil A A BC s A DEF, und bei Dreiecken, 
die einen gleichen Winkel haben, die 
Inhalte sich wie die Producte der den 
gleichen Winkel einschliefsenden Seiten 
oder wie je zwei dieser Seiten sich ver 
halten, wenn die beiden anderen Seiten, 
wie hier AG und EF einander gleich 
sind. Mithin ist A ACG das geometrische 
Mittel zwischen den Dreiecken ABC 
und DEF. Man hat demnach A ACG 
= pA A BC x A DEF. 
4. Es sei ABCDEF eine mehrseitige 
abgekürzte Pyramide, die zu der voll 
ständigen ABC DH gehört, HJKL sei 
eine dreiseitige Pyramide, deren Grund 
fläche JKL der Grundfläche ABD gleich 
Fig. 933. 
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Ai—7V' 
ist und mit dieser in einerlei Ebene liegt; 
alsdann haben beide vollständige Pyra 
miden auch, weil sie eine gemeinschaft 
liche Spitze H haben, eine gemeinschaft 
liche Höhe, und wenn man die Ebene 
EFG erweitert, bis sie die dreiseitige Py 
ramide im A NM О schneidet, so haben 
auch die Pyramiden EFG II und MN OH 
einerlei Höhe. Da Durchschnitte parallel 
den Grundflächen der Pyramide in dem 
Verhältnifs der Quadrate ihrer Abstände 
von der Spitze stehen, in den beiden 
hier betrachteten Pyramiden aber diese 
Abstände gleich sind, so verhält sich die 
Grundfläche ABD : Durchschnitt EFG 
= A JI(L : Д MNO. 
Aber Grundfläche ABD — AJKL, 
folglich Durchschnitt EFG = AM NO, 
folglich haben die Pyramiden EFGH und 
MNOH gleiche Grundflächen und gleiche 
Höhen, wie die zugehörigen ganzen Py 
ramiden ADH und JKLII, sie sind also 
je zwei gleich grofs, und wenn man 
Gleiches von Gleichem hinweg nimmt, 
so bleibt die abgekürzte Pyramide 
ABC D EFG = JKL MNO. 
D. h. Eine mehrseitige abgekürzte Py 
ramide ist so grofs als eine abgekürzte 
dreiseitige Pyramide von gleicher Höhe 
und gleich grofsen Endflächen, folglich 
gilt von der mehrseitigen der Satz wie 
von den dreiseitigen. 
5. Zwei Pyramiden sind ähnlich, wenn 
sie ähnliche Grundflächen und ähnliche 
homologe Seitenflächen und unter glei 
chen Winkeln gegen die Grundflächen 
geneigt sind. 
Denn es seien ABCDEF und abcdef 
zwei Pyramiden, deren Grundflächen ein 
ander ähnlich, so wie die Seitenflächen 
ABF und abf u. s. w., die überdies 
gleiche Neigungswinkel gegen die Grund 
flächen haben. Wegen der Aehnlichkeit 
der Grundflächen ist Z ABF — /abf, 
daher sind in den beiden Ecken В und 
b zwei Seiten und der eingeschlossene 
Winkel der einen eben den Stücken der 
anderen gleich, folglich sind diese Ecken 
congruent und also auch die übrigen 
Seiten und Winkel gleich. Man hat also 
Z.CBF = Z_cbf und aufserdem sind die 
Seitenflächen CBF und cbf wegen des 
gleichen Winkels der Ecken an BC xmd 
bc gegen die Grundflächen unter gleichen 
Winkeln geneigt. Aus der Aehnlichkeit 
der Grundflächen folgt 
AB : ab = BC : bc 
und wegen der Aehnlichkeit der Seiten 
flächen ABF und abf hat man 
AB : ab — BF: b f.