Pyramide. 385 Pyramide. 
funden wird. Wenn die Höhe nicht durch 
Ablothung gemessen werden kann, so 
mufs sie aus den Winkeln, welche eine 
der Seitenlinien AD mit den Seiten AB 
und AC macht, und dem Z.BAC herge 
leitet werden. Denn daraus ergibt sich 
(spärische Trigonometrie) der Neigungs 
winkel der Linie AD gegen die Grund 
fläche und dann die Höhe, welche dem 
Produkt aus HD in den Sinus des Nei 
gungswinkels gleich ist. Diese Höhe sei 
h, die Hohe der ganzen Pyramide = x, 
der weggenommenen y, so ist x — y = h. 
Ferner sei AB = a, DE = b, so ist 
bx 
a:b = x:y und y = —. 
Da a : a — b = x ■ x — y — x : h ist 
ah bh 
so ist x = ——r, y = -—-. 
a — b a — o 
Ferner sei die untere Grundfläche A, 
die obere B, so ist 
A :B = a 2 : ¿ 2 . 
Nun ist das Pyramidenstück 
= IfAx 3 By. 
Setzt man für x, y, B ihre Werthe, 
so wird das Pyramidenstück 
= \AB 
a 3 — b 3 
(a — b) a 2 
: if Ah 
a? + ab -f ¿ 2 
= $ abd |/(1 — cos 2 a — cos 2 ß — cos 2 y ß- 2 cos « • cos ß • cos y) 
9. Die dritte Seite der Grundfläche AB 
sei = c, die Seitenlinie AD = e, BD = f. 
Es ist der Inhalt der Pyramide durch 
die sechs Seitenlinien ausgedrückt 
(- a 1 + b 2 + c 2 + d 2 + e* - n 
+ b>c* ( a 2 - b 2 ß-c 2 ß-d 2 - e 2 ß-f 2 ) 
ß-c 2 d 2 (a 2 ßb 2 - c 2 - d 2 ß-e 2 ß-f 2 )\. 
Diese sehr symmetrische Formel wird 
erhalten, wenn für cos «, cos ß, cos y ihre 
Werthe durch die Seiten der Dreiecke 
eingeführt werden. 
Es ist cos a = 
cos y = 
a 2 ß-d 2 — e 2 
2ad 
b'+d*-f* 
2 bd 
a 2 + b 2 -c* 
2 ab 
Die Rechnung ist etwas langwierig, 
übrigens eine blofs mechanische Multi 
plication. 
Man kann die Combination in der For 
mel noch auf andere Art symmetrisch 
ordnen: als 
- aßbW + a 2 l> 2 (e 2 + /2) + a V 2 (d 2 + f*) + a 2 d 2 (p - e 2 ) + «Vf 2 - « 2 f 2 (a 2 + P) 
+ 6 2 c 2 (d 2 + e 2 ) + b 3 d 2 (e 2 -D- 6 V(¿ 2 + c 2 ) + 6 V/' 2 - c 2 d 2 (c 2 + d 2 ) 
+ c 2 d 2 (e 2 + P)~ c Vf 2 . 
8. Es sei DACB eine dreiseitige Py 
ramide, deren Grnndfläche ABC. Der 
Winkel der Seitenlinie DC mit AC sei 
= r, der Winkel derselben mit BC sei 
= ß, der Winkel ACB = y. Ferner sei 
AC = a, BC — b, CD = d. Es ist der In 
halt der Pyramide = 
s abd y'sin ßr ß ß- y) • sin ß (« + /? — y). 
sin ß(c( — ß + y) • sin L(— « + ß -f y). 
Der Beweis ist derselbe wie für den 
Inhalt eines Parallelepiped, nur dafs hier 
die Grundfläche = ßbsiny ist, und dafs 
diese mit dem dritten Theil der Höhe 
multiplicirt werden mufs. Goniometrie wird diese Formel in fol- 
Durch einige Substitutionen^ aus der gende verwandelt. Inhalt der Pyramide 
Die dreiseitige Pyramide ist unter den 
Körpern mit ebenen Seitenflächen, was 
das Dreieck unter den ebenen geradlini 
gen Figuren ist. 
Fig. 935.