Pyramide, 336 
10. Es sei Fig. 935 die Grundfläche 
einer dreiseitigen Pyramide ADBC ge 
geben, nebst den Neigungswinkeln der 
Seitenlinien DA, DB, DC gegen die 
Grundfläche, - man soll die Höhe der Py 
ramide DE und die Lage des Grundpunkts 
E bestimmen. 
Man ziehe an den Grundpunkt E die 
geraden AE, BE, CE. Diese verhalten 
sich wie die Tangenten der Winkel ADE, 
BDE, CDE, oder wie die Cotangenten 
der Neigungswinkel EAD, EBD, ECD. 
Nun ist der Kreis der geometrische Ort 
für alle Dreiecke, die über einer gege 
benen Grundlinie ein gegebenes Verhält- 
nifs der Seiten haben. Man beschreibe 
also über zweien der drei Seiten der 
Grundfläche AB, AC, als Chorden Kreis 
bogen, deren jeder der Ort des Punkts 
E sei, so gibt ihr Durchschnitt diesen 
Punkt, also auch die Längen AE, BE, 
CE. Aus jeder dieser und dem zugehö 
rigen Winkel wird dann die Höhe der 
Pyramide ED bestimmt. Die Berech 
nung ist etwas mühsam und mufs trigo 
nometrisch ausgeführt werden. 
11. Wenn an einer Pyramide eine Seite 
AB der Grundfläche, der gegenüberlie 
gende Winkel an der Spitze A DB und 
der Neigungswinkel der Seitenlinien AD, 
BD gegen die Grundfläche gegeben wer 
den, so ist die Höhe und der Grundpunkt 
dadurch bestimmt. Denn aus den Nei 
gungswinkeln ist erstlich das Yerhältnifs 
der Linien AE, BE, die nach dem Grund 
punkt gehen , gegeben ; ferner ist durch 
den Winkel ADB mit den Neigungswin 
keln der Winkel AEB der auf DE Senk 
rechten AE, BE gegeben. 
Die Aufgabe wird nun diese, erstlich 
über AB als Chorde einen Kreisbogen zu 
beschreiben, der einen gegebenen Winkel 
fasse und in diesem zwei geraden AE, 
BE zu ziehen, die ein gegebenes Ver- 
hältnifs haben. Bei Höhenmessungen ist 
dies anwendbar. 
12. Die drei ebenen Winkel der Ecke 
A an der dreiseitigen Pyramide ABCD 
seien alle rechte, so dafs die drei Ebenen 
BAC, DAC, BAD senkrecht auf einan 
der stehen. Es ist 
(A A BDf= {A BCf + (.ADCf + {AB Dy 
wo die Flächen der Dreiecke in Zahlen 
ausgedrückt zu verstehen sind. 
Der Inhalt des A BCD werde durch 
seine drei Seiten ausgedrückt. Es sei 
BD = a, BC — b, CD = c, so ist der In 
halt des Dreiecks 
\V{a-\- b -f c)(—a+ 6-f c){a-\-c— b){a-\-b~ c). 
Die anderen Dreiecke drücke man durch 
das halbe Product ihrer Catheten aus. 
Pyramide. 
Fig. 936. 
Das Product unter dem Wurzelzeichen 
entwickele man. Es ist erstlich ein Pro 
duct aus den Factoren (¿ 2 + c 2 ) — a? und 
« 2 — (A 2 - c 2 ) und dieses ist 
2a 2 /; 2 + 2a 2 c 2 -f 2A 2 c 2 — a x — b* — c 4 
= 4a 2 b 2 — (n 2 -f- Ir — c 2 ) 2 
Nun ist a 2 = AB 2 -\- AD 1 
b 2 = AB 2 + AC' 1 
c 2 = AC 1 + AD 2 
Setzt man diese Werthe für a 2 , b 2 , c 2 
in jenes Product, so wird es = 
4AB 2 • AC 2 + 4AB 2 ■ AD 2 + AC 2 . AD 2 
Die Summe der Dreiecke ist 
1AB-AD-\-\AB • AC + $AC' AD 
und die Summe der Quadrate von den 
selben der sechszehnte Theil jener Summe. 
Das Quadrat des Dreiecks BCD ist eben 
falls der sechzehnte Theil derselben und 
der Satz ist erwiesen. 
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13. La Grange hat in den neuen Me 
moiren von Berlin für 1773 analytische 
Auflösungen einiger Aufgaben über die 
dreiseitigen Pyramiden gegeben. Sie 
setzen gar keine Construction voraus und 
beruhen auf Gleichungen zwischen den 
rechtwinkligen Coordinaten, deren je drei 
zu einem Punkt im Raum gehören. 
Aus diesen Coordinaten oder gewissen 
daraus zusammengesetzten Ausdrücken 
bestehen die Werthe der Gröfsen, die für 
eine Pyramide gesucht werden. So findet 
la Grange zuerst Ausdrücke für die Sei 
tenflächen , leichte zwar für die am Schei 
telpunkt zusammenlaufenden, aber für 
die Grundfläche in der That einen zu 
zusammengesetzten nur durch die Form 
einfachen. Der Scheitelpunkt wird zu 
dem Anfangspunkt der Coordinaten ge 
nommen. Wenn s, t, u die Coordinaten 
zu der Grundfläche sind und die Glei 
chung für dieselbe ist « = / + ms + nt, so