Körpertrigonometrie. 
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Körpertrigonometrie. 
Aus der zweiten Gleichung ergibt sich 
. ]/l — cos 2 c — cos 2 i — cos 2 « + 2 cos a • cos b • cos c 
sm ß — ; — — 
sin a • sm c 
Durch Division beider letzten Gleichun 
gen erhält man 
sm u sm a 
(Q\ 
sin ß sin b w 
3. Den trigonometrischen Zusammen 
hang zwischen zwei Seiten und zwei 
Winkeln zu finden, wenn einer der Win 
kel von den Seiten eingeschlossen ist. 
Soll der Zusammenhang der Seiten b, 
c mit den Winkeln a, ß, von welchen a 
der von b und c eingeschlossene ist, be 
stimmt werden, so hat man aus dem 
vorigen Satz 
cos b = sin a • sin c • cos ß -f cos a • cos c (1) 
cos a — sin b • sin c • cos « -f- cos b • cos c (2) 
Um die verlangte Gleichung zu erhal 
ten, mufs die Seite a eliminirt werden. 
Vorerst also cos a aus der zweiten Glei 
chung in die erste gesetzt, gibt 
cos b = sin a • sin c • cos ß + sin b • sin c • cos c • cos « + cos b • cos *c 
Hieraus cos b (1 — cos i c) = sin a • sin c • cos ß + sin b • sin c • cos c • cos cc 
oder cos b • sin 2 c = sin a • sin c • cos ß + sin b • sin c • cos c • cos a 
oder mit sine dividirt 
cos b • sin c = sin a • cos ß sin b • cos c • cos a 
Nun ist aber nach No. 1, Formel 3 
sin a : sin « = sin b : sin ß 
.... . sin n . 
mithin sin a =■ —— sin b 
sm ß 
Diesen Werth in die letzte Gleichung substituirt gibt 
. . sin et . „ . . . 
cos b • sm c = —— sin b • cos ß + sin b • cos c • cos a 
sm ß 
folglich sin c • cot b = sin a • cot ß -f cos c • cos « (3) 
welches die verlangte Gleichung ist. 
4. In einem Körperdreieck verhält sich 
der Cosinus der halben Summe zweier 
Seiten zum Cosinus ihrer halben Diffe 
renz, wie die Cotangente des halben von 
den Seiten eingeschlossenen Winkels zur 
Tangente der halben Summe der gegen 
überliegenden Winkel; und der Sinus 
der halben Summe zweier Seiten zum 
Sinus ihrer halben Differenz wie die Co 
tangente des halben eingeschlossenen 
Winkels zur Tangente der halben Diffe 
renz der gegenüberliegenden Winkel. 
Es seien a, b die Seiten, also y der 
eingeschlossene, «, ß die beiden den Sei 
ten gegenüberliegenden Winkel. 
Man hat aus No. 2 
cos a = sin b • sin c • cos a + cos b • cos c (1) 
cos c = sin a • sin b • cos y + cos a • cos b (2) 
Der letzte Werth von cos c in die erste 
Gleichung substituirt gibt nach den wie 
im vorigen Satz vorgenommenen Reduc- 
tionen 
cos a • sin b = sin c • cos a -j- sin a • cos b • cos y (3) 
woraus sin c • cos « = cos a • sin b — sin a • cos b • cos y (4) 
Vertauscht man in dieser Gleichung « und ß und demgemäfs auch a und b, 
bo erhält man 
sin c • cos ß — cos b • sin a — sin b • cos a • cos y (5) 
Beide Gleichungen 4 u. 5 addirt geben: 
sin c (cos a + cos ß) = cos a • sin b + cos b • sin a — (sin a • cos b -)- sin b • cos a) • cos y 
= sin (a + b) — sin (a -f b) cos y = sin (a -f b) (1 — cos y) (6) 
Nun ist sin a : sin « = sin b '• sin ß = sin c : sin y 
Also sin a + sin b : sin « -f sin ß = sin c : sin y 
oder sin c (sin a + sin ß) = sin y (sin a + sin b)