Körpertrigonometrie.
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Körpertrigonometrie.
•woraus
. a
sm-
«+/5 + y ß + y — a
2 * C ° S 2
sin ß • sin y
(XVIII)
In dem Art. Ecke ist erwiesen, dafs
die Summe sämmtlicher Winkel in einer
nseitigen Ecke gröfser ist als (2m - 4)
und kleiner als 2m rechten Winkeln.
In einem Körperdreieck ist also die
Summe der drei Winkel kleiner als 6
und gröfser als 2 rechten AVinkeln.
Daher ist f< ^ > 90° < 3.90°
folglich cos^-~~~^ immer negativ
Ferner sind 2 Seiten eines Körperdrei
ecks immer gröfser als die dritte Seite.
(S. Ecke N0. 2). Nun sind die Seiten
der Supplementsecke 180° — «, 180° — ß,
180 °-y;
daher 180° — y +180°—/S > 180°-«
woraus 180°>jS-fy—«
also 90°>i±£--i
Jl
folglich ist cos —- immer positiv,
und daraus folgt, dafs die Gröfse unter
dem Wurzelzeichen stets positiv ist.
Hieraus folgt, dafs wenn drei ge
gebene Winkel wirk lieh einem Kör
perdreieck zukommen sollen, so
mufs nicht allein ihre Summe zwi
schen 2 und 6 Rechten begriffen
sein, sondern je zwei derselben
zusammen genommen müssen den
dritten Winkel immer um weniger
als 180° über treffen.
Anwendungen.
16 In einem Körperdreieck, wovon 2
Seiten gegeben sind ist die Summe der
drei Winkel am gröfsten, wenn der ein
geschlossene Winkel den anderen beiden
zusammen genommen gleich ist.
Denn sind a, b die gegebenen Seiten,
y der eingeschlossene Winkel, sind also
«, ß die den Seiten gegenüber liegenden
Winkel, so hat man nach der Neperschen
Analogie I.
a— b
a-\- b
cot
Y_
2
hieraus
l 9
. « + ß , y
tt-y + fry
CC + ß y
1 *#t
1 -
a— b
a+ö I T M
a— b
2 y y
coti-'tgi-
(i-\- b
a — b y a + b y a—b y a + b . . y
—2~ cot y + cos 2 tg y cos 2 C0S 2 + C0S ~2~ ' Sln 2
a+ b a— b\
cos — cos — )
«+b a—b
cos— cos-—
y y I
2 2 V
a—b 1 -j-cosy a-f b 1 — cosy
cos — - f- cos 2 2
. y COS y 1
— b)
\
2 2
' 2 2 )
I
a — b a-\-b ( a—b «+5\
~2~ + cos ~Y~ + —g cos —— J cos y
( a
smy I cos -
b a — b
2 C0S ~2~
a b öt-j-Ä a b
Nun ist cos —- + cos -i— = 2 cos — • cos —
2 2 2 2
a b a-(- b , a . b
cos — cos —— — 2 sm — • sin —
