Kräfte im Gleichgewicht. 61 Kräfte im Gleichgewicht 
II. Statik des materiellen Punkts. 
14. Auf einen materiellen Punkt 
A wirken nach Richtungen, die 
alle in einer Ebene liegen, gege 
bene Kräfte, so bestimmt sich die 
Gröfse und Richtung deren Mit 
telkraft wie folgt. 
Um zuerst die Richtungen AP-, AP,-, 
AP 2 ; AP s ... der Kräfte P; P,-, P,... 
zu bestimmen, nehme man eine belie 
bige Linie AB als gegeben an, und be 
zeichne die Winkel, welche die Kräfte 
richtungen mit derselben nach einer Seite 
hin von 0 bis 360° gezählt bilden, in 
derselben Folge mit «; ct, « 2 .... 
Im Punkt A errichte man auf AB das 
Loth AC, so fallen die Kräfte in die Li 
nien AB, AC und deren Verlängerungen 
Aß' und AC' oder zwischen dieselben 
und man kann letztere nach Satz 10 in 
Seitenkräfte zerlegen, w r elche in diese 
Linien AA! und BB' fallen. Aus diesem 
Grunde sollen diese normal auf einander 
befindliche Linien Axen heifsen, AB 
soll dieHauptaxe und AC dieNeben- 
axe sein. 
Durch solche Zerlegung erhält man 
zwei Systeme von Kräften, welche den 
gegebenen Kräften gleich gelten und von 
denen sämmtliche Kräfte des einen Sy 
stems in die Axe AB und sämmtliche 
Kräfte des anderen Systems in die Axe 
AC fallen. Die Mittelkraft der Kräfte 
jedes einzelnen Systems ist offenbar der 
Ueberschufs der nach einer Seite hin 
wirkenden gröfseren Summe der Kräfte 
gegen die nach entgegengesetzter Seite 
hin wirkende kleinere Summe; diese 
beide Mittelkräfte sind gleichgeltend den 
ursprünglich gegebenen Kräften und setzt 
man sie beide zu einer neuen Mittelkraft 
zusammen, so ist diese die gesuchte Mit 
telkraft der gegebenen Kräfte. 
Zerlegt man nun P durch das Paral 
lelogramm nm in die Seitenkräfte Am 
und An, wenn Ap die Kraft P vertritt, 
so ist Am — P v = P cos ct 
An = P'f = P sin n 
Diese Ausdrücke gelten für alle übri 
gen Kräfte P,; P 2 ; P s ... P n 
Denn für P, ist die Richtung Am, ne 
gativ, die Richtung An, positiv, also 
— Am, — P, T = — P, cos p, AB' = + P, cos«, 
An, = P? = P, sin p,AC = P, sin ct, 
Für P 2 sind die Richtungen Am 3 und 
An 3 negativ, also 
— Am 1 — P 3 r = P 5 cos p 3 AB' = — P 2 cos (a 3 — 180°) = + P 2 cos ct 3 
— An 3 — P % y = Pj siti p 3 AB' = — P 2 sin (« 2 — 180°) = + P 2 sin « 2 
Für P s ist die Richtung Am 3 positiv, die Richtung An s negativ, also 
Am s = P 3 X = P 3 cos p s AB = P 3 cos (360° — « 3 ) = P 3 cos « 3 
— An 3 = P 3 V = P s sin p 3 AB = — P 3 siti (360° — « 3 ) = + P 3 sin « 3 
Fällt die Kraft in eine der beiden Axen, 
so sei die Richtung der Kraft 1) nach 
AB gerichtet. 
Dann ist « = 0 also 
Am = P' = P cos « = P cos 0 = P 
An — py = P sin n = P sin 0 = 0 
Ist 2) die Richtung der Kraft nach AC, 
dann ist «, = 90°, also 
Am, = P, x = P, cos a, = P, cos 90° = 0 
An, — P^ — P, sin ct, = P, sin 90° = P, 
Ist 3) 
dann ist 
— Am 3 = 
An t = 
Ist 4) 
dann ist 
Am 3 = 
An 3 — 
Diese 
Kräften