Kreis. 
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Kreis. 
EC bilden, je weiter man von E über 
EC hinaus den Mittelpunkt des Kreises 
verlegt. (Vergleiche den späteren Art. 
„Kugeldreieck“, pag. 120.) 
Lehrsatz 18. Auf eines Kreises 
ABDE Berührungslinie EG (Fig. 771) ist 
die vom Mittelpunkt C nach dem Berüh 
rungspunkt E gezogene gerade Linie CE 
perpendiculär. • . 
Wäre CE nicht perpendiculär, so müfste 
es eine andere sein, z. B. CG. Dann ist 
ZCGE ein rechter Winkel, also im ACEG 
die Seite CE>CG, also auch CS>CG. 
Lehrsatz 19. Ist, Fig. 771, auf eines 
Kreises ABDE Berührungslinie EG im 
Berührungspunkt E eine gerade Linie 
EB perpendiculär, so liegt in solcher des 
Kreises Mittelpunkt. 
Denn wäre in EB nicht der Mittelpunkt, 
sondern aufser ihr, etwa in 0, so ist, 
wenn man OE zieht, (nach Satz 18) 
ZO£(?=Ä, folglich /_OEG = Z.BEG. 
Lehrsatz 20. In jedem Kreise (Fig. 
777) ist der Winkel DCE am Mittelpunkt 
doppelt so grofs als der Winkel am Um 
fang, wenn beide auf einerlei Bogen DE 
stehen. 
Ist 1. der Peripheriewinkel DAE, so 
dafs beide Schenkel desselben den Mit 
telpunkt C einschliefsen, so ziehe den 
Fig. 777. 
Durchmesser AB. Dann ist DC = AC, 
also ZCDA = ZCAD, also ZDCB = 
2Z.CAD. 
Eben so Z ECB = 2Z CAE, folglich 
ZDCE= 2Z DAE. 
Ist 2. der Peripherie winke! DFE, so 
dafs der Mittelpunkt aufserhalb beider 
Schenkel fällt, so ziehe den Durchmesser 
FG und man hat aus 1 : 
Z GCD = 2Z GFD 
Z GCE = 2Z GFE 
hieraus 
Z GCE - Z GCD = 2Z GFE - 2Z GFD 
oder Z DCE = 2 z DFE 
Lehrsatz21. Die Winkel DAE, DFE 
in einem Kreisabschnitte DAFE sind ein 
ander gleich (heilst jetzt: Peripherie Win 
kel auf demselben Bogen {DE) sind ein 
ander gleich). 
Denn zieht man den Mittelpunktswin 
kel DCE, so ist nach dem vorigen Satz 
Z DCE = 2Z DAE = 2Z DFE, woher 
zeac=zdfe. 
Lehrsatz 22. Die gegenüberstehen 
den Winkel einer vierseitigen Figur im 
Kreise sind zweien rechten Winkeln gleich. 
Es sei (Fig. 777) ADBE das Viereck, 
ziehe die Diagonalen AB, DE, so ist nach 
dem vorigen Satz 
ZADE = ZÄBE 
ZBDE = ZBAE 
hieraus ZADB = ZABE + ZBAE 
hierzu ZAEB — ZAEB __ 
folglich 
Z ADB + Z AEB = 2 rechten Winkeln. 
Lehrsatz 23. Auf einer geraden Li 
nie {AB, Fig. 778) können nicht zwei 
ähnliche und dabei ungleiche Kreisab 
schnitte an einerlei Seite errichtet wer 
den. 
Denn zieht man die beliebigen Linien 
AE und BE aus den Endpunkten der 
Sehne, ferner die Linie BD, so hat man 
immer ZADB> Z AEB, mithin sind die 
Abschnitte immer unähnlich. 
Lehrsatz 24. Aehnliche Kreisab 
schnitte ADB, FHG auf gleichen geraden 
Linien AB, FG sind einander gleich. 
Denn legt man beide so aufeinander, 
Fig. 778. 
dafs ihre Sehnen sich decken, so müssen 
auch die Bogen sich decken, weil sonst 
nach dem vorigen Satz die Abschnitte 
unähnlich sein würden. 
Lehrsatz 26. In gleichen Kreisen 
stehen gleiche Winkel am Mittelpunkt 
sowohl als gleiche Winkel am Umkreise 
auf gleichen Bogen. 
Ist ZBCG = ZEHF und also auch