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Kiepert, ganzzahlige Multiplication der elliptischeil Functionen. 
Es seien 2co und 2a/ die primitiven Perioden einer elliptischen 
Function, und 
w = 2 mco-\-2nco', 
dann bilden wir das stets convergirende Product 
(1.) au = uIJ'( l-^)e w+2w \ 
wo der Strich bei dem Productzeichen fl so wie weiler unten beim Summations 
zeichen 2 andeutet, dass m und n, die alle positiven und negativen ganz 
zahligen Werthe durchlaufen, nicht gleichzeitig Null sein dürfen. 
Diese Function au verschwindet nur für 
u — w~ 2m(o-{-2nio' 
und wird für endliche Werthe von u niemals unendlich gross. Da es 
zu jedem Werthe von w = 2mw-}-2nco' einen entgegengesetzten Werth 
w ~—2moo~2noo' giebt, so können wir in mit — w vertauschen, ohne dass 
sich die Function au ändert. Wenn wir daher — u statt u setzen, so wechselt 
au nur sein Zeichen, d, h. au ist eine ungerade Function. 
Aus au leiten wir durch Differentiation die Function pu her; es ist 
nämlich 
d log au 
o’u 
= t«*) = 
1 
1_ jW 
' 1 ,1 
du 
au 
u 
i — v 
u — w * w 
uy ) 
pu — 
d 2 \ogou 
1 
1 y f ( 
1 
1 'i 
du 2 
u 2 
1 - V 
• (u — w) 2 
uy ' ’ 
p'u =3 
d 3 \ogau 
—2 
9 y 11 
1 
-22 
du 3 
u A 
(u — w) 3 
wo jetzt der Strich bei dem Summenzeichen 2 fehlt, weil in w = 2nuv J r 2nco r 
auch m und n einmal gleichzeitig Null sein müssen. 
Aus der Form der Function p'u folgt sofort, dass sie die Perioden 
2co und 2a/ hat, denn es ist 
p'(u+2co) = p'u und p'(u-\-2uj') = p'u. 
Durch Integration dieser Gleichungen erhalten wir 
p[u-\- 2co) = Pu-\- C } p 2o/) — FM-f-C, 
also für u = — io, bezüglich u = —co r 
PUJ = p(— cu)4- C, PCO 1 = p(— u/) + C\ 
*) Der Kürze wegen schreiben wir 
statt 
a’u 
au