Kiepert, ganzzahlige Multiplication der elliptischen Functionen. 
Sollen 2c6 und 205' wieder ein primitives Periodenpaar sein, so muss 
mri — m'n = +1 
werden. 
Aus den angeführten Formeln folgt, dass die Function 
C<y(u — a { )a (u — a 2 )...a(u — a r ) 
U a(u — bja(u — b 2 ) ...a(u — b r ) 
die beiden Perioden 2co und 2a/ besitzt, sobald JZa — JFb ist, denn es wird 
beim Einsetzen 
(p(u + 2co) = cp(u) und <p(w + 2a/) — cp{u). 
Es lässt sich aber auch umgekehrt zeigen, dass jede Function, welche die 
beiden Perioden 2co und 2a/ besitzt, sich auf jene Form bringen lässt. Dabei 
ist «i, a 2 , ... a r ein vollständiges System nicht congruenter Werthe von u f 
für welche (p{u) verschwindet, und 6 19 6 2 , ... b r ein vollständiges System 
nicht congruenter Werthe von u, für welche (p{u) unendlich wird. Jeder 
von diesen Werthen ist so oft berücksichtigt, als seine Ordnungszahl angiebt. 
Kennt man daher die Nullwerthe und Unendlichkeitswerthe einer 
doppeltperiodischen Function y(«), so kann man sie in der durch Gleichung 
(8.) angegebenen Form darstellen. So wird z. B. 
o(v — u)a (v -f- u) 
PU—pv 
pu = 
(öd) 2 ((TM) 2 ’ 
2a (u — w) a (u — co’) 6 (u -f- co -f- co’) 
o co a eo' a (co -j- co’) (au) 3 
2<t(m -f °>) <t(m + (o')a(u — co — co') 
go) ao)' o(co -j- o)') (au) 3 
Durch Multiplication dieser beiden Werthe von p'u und Anwendung der 
Formel (9.) finden wir 
(11.) (p'uf — 4(pu — pco)(pu — p(co-\-co , ))(pu — pa)'). 
Zur Abkürzung setzen wir 
poo = e n p(u) + a/) = e 2 , po/= ej, 
dann ergiebt sich, wenn wir beide Seiten von Gleichung (11.) entwickeln, 
£l + ^2 ~\~ e S — 0 , 
also 
= 4(rm) 3 — giPu—gi, 
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