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Kiepert, Elliptische Integrale erster Gattung. 
(18.) 
/IV*,/ \ (pupv-\-l) 2 
l> (tt + v)p (fi — V), 
p(u\-v)—p (u—v)- 
—p'up'v 
(p u —p v) r 
Nun wird aber, wenn ds wieder das Bogenelement be 
zeichnet, 
ds 2 
16 [p up v -j- 1) 2 du dv 
pup'V 
und nach den Gleichungen (18.) 
(p Up v -f-1) 2 p(ll-f - v)p (u — v) 
p'up'v p (u — v) —p (?t [ - v) p 21 i] —p 2 §' 
Schliesslich ist aber noch bei der lemniscatischen Function 
p 2 'ip 2 i i] 
also wird 
(19.) 
piu = —pu, p iu — %p‘u, 
16p2Sp2>) (d | 2 [ d if) 
ds 2 r 
p 2 S -f-p 2 /; 
Nehmen wir jetzt /y constant, so erhalten wir das Bogen- 
element für die eine Schaar der Krümmungslinien. Wir 
setzen desshalb 
„ v . 7 . dt 
(20.) p2l = cfp 2£ = C, also dl 
wobei c 2 >l ist, dann wird 
(21.) 
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c d t 
(21a,) 
ds = 
V^+o' '(- - l'C | -I 
zen, 
drp 
c« 4-1 
oder, wenn wir C4-c 2 =—^4— setzen, 
sm 2 r/> 
2 c 
*■+' i/.-fci- 
sm £ cp 
Genau dasselbe erhalten wir für die andere Schaar der 
Krümmungslinien, wenn wir setzen 
p2'i=-c 2 , p2rp ■ L.