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Kiepert, über Minimalflächen. 
so werden die Formeln (1.) mit denen, die Herr Weierstrass Seite 619 
nnter D anführt, identisch. Da aber durch diese Gleichungen D eine jede 
Minimalfläche dargestellt werden kann, so gilt dies auch von den Formeln (1.). 
Der Kürze wegen setzen wir noch in dem Folgenden 
(2.) L(u) — V, M(v) — V, M 1 (u) — U lf L x {v) — V x . 
§■ 1. 
Aus den Gleichungen (1.) folgt 
(1“.) dx + idy — U'du + V'dv, dx — idy = U\du-\- V\dv, dz = iUU x du — iVV X dv, 
also 
(3.) dar + dy 2 -f dz 2 = ds 2 = (UV X -f U x V) 2 du dv. 
Nun ist 
du dv — d$ 2 + drf — i/o 2 , 
wo da das entsprechende Bogenelement in der ^-Ebene ist. Es ist also in 
jedem Punkte der Fläche das Bogenelement ds dem Bogenelement da pro 
portional, gleichviel nach welcher Richtung man von dem betrachteten 
Punkte aus fortschreitet. Damit ist bewiesen: 
Die Minimalfläche wird auf die Ebene in den kleinsten Theilen 
ähnlich abgebildet. 
Einem constanten Werth von rj entspricht eine Curve, deren Bogen 
(3“.) *, =y*(t7K a +0,r)d! 
ist, während 
(3 6 .) S, = f(UV,+ U,V)d7] 
der Bogen einer Curve ist, die man für einen constanten Werth von £ 
erhält. 
Sind U und V ganze Functionen n ien Grades, so werden diese Curven 
vom Grade 2n + 1 und ihre Bogenlängen ganze Functionen (2n + l) ten Grades 
von £ und r r 
Aus der conformen Abbildung der Minimalflächen auf die ^-Ebene 
folgt der Satz: Die Gleichungen rj — const. und § = const. bestimmen auf der 
Minimalfläche ein System rechtwinkliger Trajectorien. 
§. 2. 
Indem man sich die Minimalfläche durch die den Annahmen g = const., 
£ = const. entsprechenden Curven in unendlich kleine Rechtecke ds x . ds 2