Kiepert, über Minimalflächen, 
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getheilt vorstellt, erhält man für das Flächenelement den Ausdruck 
(4.) ds t .ds 2 = (UVy+UJfd'Sdri. 
Nehmen wir an, es sei ij — 0 eine einfach geschlossene Curve auf der 
Minimalfläche und begrenze ein zusammenhängendes, von Singularitäten 
freies Stück © der Minimalfläche. Der Punkt x, y, z durchlaufe diese 
Curve, während £ die Werthe von a bis b durchläuft, wobei natürlich auch 
a — ±oo und b — +oo sein kann. Nimmt rj positive constante Werthe an, 
so mögen die zugehörigen geschlossenen Curven im Innern des von rj — 0 
begrenzten Flächenstückes liegen; die innerste dieser Curven sei rj = c und 
reducire sich auf einen Punkt oder auf eine Linie, die keinen Flächen 
inhalt mehr einschliesst, indem sie zweimal in entgegengesetzter Richtung 
durchlaufen wird, ähnlich wie hei einem System confocaler Ellipsen die 
innerste die gerade Verbindungslinie der beiden Brennpunkte ist. 
In diesem Falle, der besonders wichtig erscheint, lässt sich das aus 
Gleichung (4.) für das Flächenstück © hergeleitete Doppelintegral J sogleich 
auf ein einfaches reduciren. Es ist 
(5.) J = Jdrjf'diiUV\+ U t Vf- 
0 a 
Nun ist aber 
(Ir)+(|r)+dr)’ = = c»r,+u, vy 
/r*^ \ ( d 2 x ö‘y o*z \ 
(7.) y# +y z J + 
d*y 
( „ x i d 2 y 
d? 
dI 2 
V a7 dv 2 
+y 
drf 
dr¡ 
r)-o 
und deshalb 
(8.) 
also 
2 Qg 
(x 2 +y 2 + z 2 )+$^(x 2 +y 2 +z 2 ) - +(r¿%) + ( _ ä| _ ) 
+(■£)+(*)+(£■)■ 
(9.) 4 (UVt+UJf = 
und wenn wir dies in Gleichung (5.) einsetzen, 
(10.) 4/ = J di]J d£-^-(x 2 -\-y 2 +z 2 )+J drij d'S-^»(x 2 +y 2 +z 2 ). 
0 a 0 a 
Da hierbei die Integrationsgrenzen constant sind, so können wir die Ordnung 
der Integration beliebig vertauschen und erhalten 
4/ = ./' dr > [ A (a,,+y2+ **>Xl + f dS IX (x ’+y 2+ 
0 '05 1 
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Adolf Kiepert in Breslau. 
x*. uuuuici, liicuiic uei wuernacneii zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
samrhengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.