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Kiepert, über Minimalflächen. 
Die der Annahme ij — ij t) (0 <C ^ <Z c) entsprechenden Our ven sind der Vor 
aussetzung nach geschlossen, deshalb wird das erste Integral gleich Null 
und es bleibt nur 
(11.) 
[* J =.A 
=J (x2 +Gr» 2 +* 2 J~” 
Hierbei ist aber 
/'*'[-^(x J +/+ Z ! )]'' '= 0, 
weil r/ — 0 nur einen Punkt oder eine Curve darstellt, die zweimal in ent 
gegengesetzter Richtung durchlaufen wird, wenn '§ die Werthe von a bis b 
durchläuft. Deshalb ist 
(12.) iJ = —f di [~ r+ s 1 )]"““. 
a 
Dieses Integral lässt sich auch geometrisch deuten. (Vergl. Schwarz, 
Miscellen aus dem Gebiete der Minimalflächen, dieses Journal Bd. 80 S. 290.) 
Es sei nämlich x, y, z ein Punkt der Begrenzung und x + dx, y + dy, z-\-dz 
der benachbarte Punkt auf der Begrenzung, dann bestimmen diese beiden 
Punkte mit dem Nullpunkt ein Dreieck, dessen Flächeninhalt bekanntlich 
gleich 
df — dz — z dy) 2j r (zdx — x dz) 2 + (xdy —y dx) 2 
ist. Die Ebene dieses Dreiecks bilde mit der Tangentialebene im Punkte 
x, y, z den Winkel dann ist 
COS CO — 
4 ds. 2 .df 
Nun ist aber nach den Gleichungen (3 a .) und (3 6 .) 
ds, _ (UV^uj'idl ^ dl 
ds 2 (7, V)drj dti ’ 
also 
cos co = 
und 
(13.) 
4 df 
J — J cosco.d/“.