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Kiepert, über Minimalflächen. 
man sogleich erkennt, unter welchen Umständen die Krümmungslinien al 
gebraisch werden. Meist führen sie zu hyperelliptischen Integralen. 
Wenn wir die Bezeichnungen von Herrn Weierstrass (a. a. ö.) be 
nutzen wollen, so müssen wir setzen 
ir = -u*%(«\ F = g,0), P? = 3■(«), H = -«*&(«>), 
^=-8«, U,U'-U l V = Ii = 
folglich wird die Differentialgleichung für die Krümmungslinien 
(18“.) g (w) du 1 — ^yv)dv> 7 . 
§. 5. 
Ebenso finden wir aus der allgemeinen Gleichung der Asymptoten 
linien 
rdx 1 + 2sdxdy + tdy — 0 
für unsere Minimalflächen 
(19.) Kdu- = — Ldv 7 . *) 
Die Asymptotenlinien sind isogonale Trajectorien der Krümmungslinien und 
schneiden diese unter einem constanten Winkel von 45°. Entsprechend 
findet man die Differentialgleichung der Isogonalen, welche die Krümmungs 
linien unter dem constanten Winkel (p schneiden, 
(20.) Kdu 1 = e i<pi Ldv\ 
§. & 
Heissen die Hauptkrümmungsradien einer Fläche p, und p 2 , so ist 
bekanntlich 
(A 2 + ß 3 -f Cy 
Q1Q2 — D' 2 — DD" 
Bei den Minimalflächen ist aber p x — — p 2 , also 
4(A 2 -f ß 2 -f- Cy - F A 
(21.) 4p? = 4^ 
D" — DD" 
KL 
oder mit Anwendung der Bezeichnungen von Herrn Weierstrass 
. (21“.) 4pi = 4p2 = («ü + irgw&w. 
Sind ferner x’, y', z die Coordinateli der Krümmungsmittelpunkte, die zum 
*) Ueber die Gleichung der Krümmungslinien und Asymptotenlinien vergl. Ossian 
Bonnet, Mémoire sur l’emploi d’un nouveau système de variables. (Lionvilles Journal 
2. S. t. 5. p. 153—267. Gl. (54.) und (55.).