Kiepert, über Minimal flächen. 
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Für « = © = | gehen diese Gleichungen über in die gegebenen Gleichungen, 
und somit ist gezeigt, wie durch jede beliebige Curve unendlich viele 
Minimalflächen hindurchgelegt werden können. 
Es bleibt nur noch übrig nachzuweisen, dass durch die Gleichungen 
(35.) alle Minimalflächen dargestellt werden können, welche durch die ge 
gebene Curve hindurchgehen. 
Ist eine Minimalfläche, welche durch die Curve hindurchgeht, nicht 
in der Form der Gleichungen (35.) dargestellt, so muss sie sich wenigstens 
durch die Gleichungen (1.) darstellen lassen. Die auf ihr liegende gegebene 
Curve kann dann dadurch bestimmt werden, dass man 
setzt und die analytischen Functionen (p und \p so bestimmt, dass für reelle 
Werthe von & der Punkt x, y, z die gegebene Curve durchläuft. Setzen 
wir dann 
u — cp (uf) + i yp (Ml), v = cp (vj — iip (v t ) 
in die Gleichungen (1.) ein, so werden sie für 
«i = «i = & 
die gegebene Curve darstellen und deshalb die Form der Gleichungen (35.) 
haben müssen. 
§. 11. 
Mit den soeben ausgeführten Formeln lässt sich eine Aufgabe lösen, die 
Herr Schwarz für das Jahr 1874 am Polytechnicum in Zürich als Preisaufgabe 
gestellt hat: „Eine Minimal fläche ist durch die Bedingung analytisch zu bestimmen, 
dass eine vorgeschriebene ebene Curve eine kürzeste Linie derselben sein soll.“ 
Diese Aufgabe ist von den Herren Herzog *) und Henneberg **) für die Cycloide, 
für die Kegelschnitte und deren Evoluten gelöst worden. (Vergl. Schwarz, 
Miscellen aus dem Gebiete der Minimalfl. a. o. 0.) 
Die allgemeine Lösung der Aufgabe ergiebt sich sofort aus dem Vor 
hergehenden, wenn man P(u) = g(u) und Pflu) = g x {u) setzt; denn ist die 
gegebene Curve 
x+iy = G(J), x — iy = (?i(£), z = H(J) = 0, 
*) Albin Herzog, Bestimmung einiger specieller Minimalfläehen, Inauguraldisser 
tation. Zürich 1875. 
**) Lebrecht Henneberg, über solche Minimalfläehen, die eine vorgeschriebene ebene 
Curve zur geodätischen Linie haben. Zürich 1875. 
Adolf Kiepert in Breslau. 
*m «vuiuiw, incuiie UC1 KMMBWciien zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.