171 
Ueber Minimalflächen. 
Zweite Abhandlung*). 
(Von Herrn L. Kiepert in Darmstadt.) 
Es sollen die Formeln der Abhandlung’ I (dieses Journal Bd. 81 
S. 337 — 348) zunächst benutzt werden für die Untersuchung zweier specieller 
Sehaaren von Minimalflächen, die Herr Schwarz in seiner Abhandlung „Fort 
gesetzte Untersuchungen über Minimalflächen“ (Monatsberichte der Berliner 
Akademie 1872 S. 25 und 26) die „Ennepersehe Flächenschaar“ und die 
„Scherksche Flächenschaar“ nennt. Diese Flächen erscheinen besonders 
dadurch interessant, dass sie in mehrfacher Beziehung zu den elliptischen 
Functionen stehen. Es lassen sich die Coordinaten eines Flächenpunktes 
ziemlich einfach durch elliptische Functionen zweier Veränderlichen | und rj 
darstellen, so dass man für constante Werthe von | oder von r] die 
Krümmungslinien auf der Ennep ersehen Flächenschaar und die Asymptoten 
linien auf der Scherksehen Flächenschaar erhält. 
Ebenso liefern constante Werthe von oder von £ — tj die 
Asymptotenlinien auf der Ennepersehen Flächenschaar und die Krümmungs 
linien auf der Seherksehen Flächenschaar. Durch passende Anwendung 
des Additionstheorems können dann die Projectionen dieser Curven auf die 
Coordinatenebenen analytisch dargestellt werden. 
Ferner enthalten diese Flächen vier Curvenschaaren, bei denen der 
Bogen ein elliptisches Integral erster Gattung ist, dessen obere Grenze 
eine einfache geometrische Bedeutung hat. Bei der Ennepersehen Flächen 
schaar sind zwei dieser Curvenschaaren eben, und die Amplitude des ellip 
tischen Integrals ist die s-Coordinate von dem Endpunkt des Curvenbogens. 
Die beiden anderen Curvenschaaren sind mit den Krümmungslinien identisch. 
Entsprechendes gilt von der Scherksehen Flächenschaar. 
*) Einer Mittheilung von befreundeter Seite verdanke ich die Bemerkung, dass 
die in §. 8 meiner ersten Abhandlung über Minimalflächen (dieses Journal Bd. 81 S. 344) 
unter einer gewissen Voraussetzung ausgeführte Integration der Differentialgleichung 
für die kürzesten Linien nicht einen so allgemeinen Fall umfasst, wie ich früher ge 
glaubt habe. Der an jener Stelle behandelte Fall bezieht sich nur auf diejenigen 
Minimalflächen, die stetig in sich selbst verbiegbar sind. Vergl. „ Miscellen aus dem 
Gebiete der Minimalflächen“ von H. A. Schwarz (dieses Journal Bd. 80 S. 296). 
Auf Seite 344 der erwähnten Abhandlung Zeile 2 ist das Wort „symmetrische“ 
zu streichen. - /s 
22* 
iw us/i wuakin.il í, W CIICI 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°- M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.