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Kiepert, über Minimalflächen. 
Auch der Zusammenhang der Flächen mit ihren Krümmungsmittel 
punktsflächen ist merkwürdig, denn jeder ebenen Curve auf der Enneper- 
schen Flächenschaar, deren Ebene einer Coordinatenebene parallel ist, ent 
sprechen auf der zugehörigen Krümmungsmittelpunktsfläche zwei Curven 
in parallelen Ebenen. 
Es sei 
(1.) U 
sin (f) 
u t = 
* cos (t) 
«cos 
v= 
(t) 
v,= 
sin (i) 
du 7 ~ 1 ¿tu 1 dv 7 dv 
WO 
(du) 2 = 1— k 2 sin 2 u — cos 2 u + k 12 sin 2 u — k' 2 + k 2 cos 2 u 
und 
k 2 +k' 2 = 1 
ist. Dies giebt 
[a«te = (ir+D?)*+(p+v?)*-=^+;-iE^- I 
(2.) 
2dy = = j 
2 dz — 2iUU x du — 2iVV l dv = 
idu 
idv 
sin 2 « 1 — A 2 sin 2 « ’ 
SillMG?M , sinüdy 
oder 
4:kx = 
(3.) 
1 — A 2 sin 2 M ' 1 — Ä 2 sin 2 'y 7 
1 — Asinu \ . ,/ 1 — Asm« 
l + Asin« 
cosm —«A'sinM 
)+/(- 
,/cosm — ik'smu \ , ,/ 
ik 9 = 
l-f-Asinv 
coso -j- *A' sin» 
cosm + «A'sinM ' \ cos®— ik'smv 
' 7 , .,/A'-MAcosm\ ../A'—«Acos® \ 
Ukz = ^U'-UcosJ-^WiftcosJ- 
Mit Benutzung der hyperbolischen Functionen *) wird daher 
), 
“) Die hyperbolischen Functionen werden bekanntlich detinirt durch die Gleichungen 
Chw = 
e“ 4. e -u 
Sh = 
2 ’ 2 1 
Daraus folgen die Formeln: 
C1i 2 m— Sh‘ 2 M = 1, 
(Ch u -j- Sh u) m = Ch (m u) -f- Sh (m u), (Ch u — Sh u) 
Th 
Sh u 
Ch u 
Ch (in u) — Sh (m u), 
dChu 
OI dShw 
ShM, — T — = KJhu, 
du ’ du 
Sh(M-j-®) = ShwChv-)-ChMSh^ 
Ch (u ®) = Ch u Ch v + Sh u Sh v, 
Sh (2m) = 2ShMChM, 
Ch(2M) = Ch 2 M -f Sh 2 M = 1 + 2Sh 2 M = 2Ch 2 M—1, 
2Sh 2 M =f C1i(2m)—1, 2Ch 2 w = C1i(2m)+1.