Kiepert, über Minimalflächen 
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i dudvCh(2kx) — 1 + k 2 sin u sin v 9 
JudvCh(2k' y) = coswcos® + Ä' 2 sin m sine, 
du Jv cos (2k k' z) = k' 2 — Ä 2 cos w cos®,* 
also 
(5.) k ,2 Ch(2kx) — k 2 Ch(2k' y) — cos (2kk'z) = 0. 
Dies ist die Gleichung der Enneperschen Flächenschaar (Vergl. Nachrichten 
der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1867 S. 297). Schon 
aus der Gleichung folgt, dass die Flächen sich periodisch wiederholen, 
wenn z um wächst. Auch in Bezug auf x und y gieht es Perioden 
resp. diese sind aber imaginär. 
rt rt' 
§• 2. 
Die Ossian-Bonnetachen Biegungsflächen erhalten wir, indem wir setzen 
(6.) 
also 
U = 
sin (f) 
cos 
du 
üi = 
(f) 
cos 
du 
V: 
(f) 
do 
2dx = (U 2 +U¡)du + {V 2 + V¡)dv 
du 
, v,= 
dv 
sin (f) 
dv 7 
2dy = ~i(U 2 - U 2 )du-i(V 2 -VI)dv = 
2 dz = 2i UU t du - 2> VV, dv = -~ u du 
1 — Ä 2 sin 2 M 1 — Ä 2 sin 2 ü 7 
icosudu , —icosvdv 
1—Ä*sin*M 1 — Ar 2 sin 2 v 7 
, —¿SÍn®úfo 
sin u 
folglich ist 
4 k'x — ®v( 
cos u — ik'smu 
1 — & 2 sin 2 ® 7 
(7.) 
cosw -\-ik' sin 
1 + ksmu 
m u \ ^ / cos v — ik' sin v \ 
in m / \ cos v -f- ik' sin v J 7 
4ky = il(4 + *™») + il), 
a ^ 1 — äsuim ' ^ 1-fÄsm» ^ 7 
P — ik cos \ . / k' -f- ik cos ® \ 
/c' + ^cosm / ' V k' — ik cost»/ 
4ckk'z 
Dies giebt 
(¿/w) 2 (z/®) 2 cos (2A'o? + 2ky) = (cos u cos® — k' 2 sin u sin ®) (1— k 2 sin u sin®) 
+ ikk' sin (u 4- ®) (sin u — sin®), 
also 
1-f-cos (2ft'a;—2ky) k n -\-k 2 co&ucobv— ikk'(cosu — cos®) 
Akk'z 
1 + cos(2A:'íc4- 2%) k' 2 -j- h 2 cos u cos® -J- ikk!(cos u — cos®) 
»wuvkv», uci vucmauicn zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu- 
samrhengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An "diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.