Kiepert, über Minimalflächen. 
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Es liegt daher in der a^-Ebene ein ganzes Netz von geraden Linien, die 
den ursprünglichen Coordinaten parallel sind. 
Für cos# = 0, cosy = 0, also für x = ±~-\-2mn, y = ±-^- + 2nn 
wird z ganz beliebig, es giebt also auch zweifach unendlich viele Gerade 
auf der Fläche, die auf der xy-Ebene senkrecht stehen. 
§. 3. 
Ebenso wollen wir auch die Gleichung der Enneperschm Flächen 
schaar transformiren, indem wir in der xy-Ebene die beiden Geraden zu 
Axen wählen, die mit der #-Axe den Winkel a bilden, und dann bei den 
neuen Coordinaten den Factor 2kk' fortlassen. Dies erreichen wir, indem 
wir y— x statt 2hx, y + x statt 2k'y und z statt 2kk'z in die Gleichung (5.) 
substituiren, und erhalten dann 
(5 a .) cos2aCh#Ch*/ — ShccSh«/ — cos« = 0. 
Geben wir jetzt y einen constanten Werth c, so erhalten wir einen Schnitt 
parallel zur xz- Ebene. Die Gleichung dieser Schnittcurve wird dann in 
rechtwinkligen Coordinaten 
(9.) cos2a Ch#-A'Sh# — ¿coss = 0, 
wenn 
Ch c = y , Sh c = ~, also Ä 2 + l n = 1 
ist. Dies giebt 
(10.) dx' + dz? = -ff- 
Der Bogen dieser Schnittcurven ist also ein elliptisches Integral 
l 
erster Gattung, dessen Amplitude gleich z, und dessen Modul gleich 
ist. Dasselbe gilt von den Schnittcurven parallel zur yz-Ebene. 
Es giebt also auf den Enneperschen Minimalflächen zwei Schaaren 
von ebenen Curven, deren Bogen ein elliptisches Integral erster Gattung ist, 
wobei die obere Grenze eine sehr einfache geometrische Bedeutung hat. 
Auch diese Minimalfiächen kann man leicht modelliren, indem man 
die soeben besprochenen Curven in Cartonpapier ausschneidet und passend 
in einander fügt. Hier stellt aber jedes Modell nur eine einzige Minimal 
fläche dar, je nachdem der Werth von a gewählt ist. Der einfachste Fall 
■ -■ ~uu wuk iiacncii zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i83a), dass 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.