Kiepert, Auflösung der Gleichungen fünften Grades. 
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Zur Lösung der allgemeinen Gleichung fünften Grades reicht aber 
die Gleichung, welcher a genügt, nicht aus, weil man von den drei Grössen 
a, b, c höchstens der einen durch Einführung einer Substitution einen be 
stimmten vorgeschriebenen Werth geben kann, während die beiden andern 
variabel bleiben müssen, wenn ein von Abel für die algebraisch lösbaren 
Gleichungen gegebener Satz, den Herr Kronecker auf die allgemeinen 
Gleichungen übertragen hat, Geltung behalten soll. Herr Kronecker ver 
langt nämlich, dass alle bei der Auflösung der Gleichung benutzten Hiilfs- 
grössen aus den Wurzeln der Gleichung (abgesehen von Wurzeln der 
Einheit) rational zusammengesetzt seien. 
Dieser Forderung genügt bis jetzt keine der gegebenen Auflösungen 
der Gleichungen fünften Grades, denn bei allen kommen irrationale Func 
tionen der Wurzeln zur Anwendung. 
Man kann z. B. die allgemeine Jacobi-Kroneckersehe ßesolvente auf 
eine specielle reduciren, in der a gleich Null ist. Es giebt nämlich un 
endlich viele Functionen f von den Wurzeln einer Gleichung fünften Grades, 
die einer Jacobi-Kronecker&chen ßesolvente genügen, und mit den zuge 
hörigen Werthen /), /i, /2, /‘ 3 , f\ die ßelationen (2“.) oder (2\) befriedigen. 
Solche Functionen sind nach den Angaben von Herrn Kronecker z. B. 
folgende Ausdrücke, in denen x ()1 x u x 2 , ic 3 , # 4 die Wurzeln der gegebenen 
Gleichung fünften Grades bezeichnen: 
?»=4 n—4 
2 2 x n 
1U=0 n— 1 
X 
m-\-n 
sin 
2 ri7l 
und 
in— 4 ra=4 
f = 2 2 x 3 m x m+n x m+2n sin 
J»=0 71= \ 
2nn 
5 7 
wobei die grösseren Indices auf die kleinsten Beste modulo 5 zu be 
schränken sind. 
Da die ßelationen (2 ft .) und (2 /J .) homogene lineare Gleichungen sind, 
so gelten sie auch für /“+«?/", wenn sie für f und /*' einzeln gelten, was 
auch v sein mag. Daraus folgt, dass f+rf die Wurzel einer Jacobi- 
Kroneckerschen ßesolvente ist, wobei noch v so gewählt werden möge, dass 
(/+ 4, / > )’+(/<> 4-©/o) 2 + (/1 + 47 f\Y + (/)+0/2)"+(/3 + ^^3)' + (A+^A)' — ^ 
wird. Dies giebt zur Berechnung von v eine quadratische Gleichung, deren 
Coefficienten aus den Coefficienten der gegebenen Gleichung und der 
Quadratwurzel aus ihrer Discriminante rational zusammengesetzt sind. 
Durch diese Bestimmung von v erreicht man, dass f+vf' die Wurzel 
einer Jacobi-Kroneckerschen ßesolvente wird, in der die Grösse a gleich 
1 
jn. ¿»uiruier, ineone der Uberllächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk WpAfichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.