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Kiepert, Auflösung der Gleichungen fünften Grades. 
dann erhält man eine Gleichung von der Form 
z 5 +hLz 2 -hMz + N = 0. 
Damit nun aber völlige Ueb er einstimmun g dieser Gleichung mit Gleichung 
(32.) stattfindet, oder mit andern Worten, damit L — l, M = m, N — n werde, 
q3 
müssen a, ß und ~ so gewählt werden, dass die Gleichungen 
( 1728 gl J L = 8 J 2 a 3 - 72 J a ß 2 -f 216# crß - ß 3 ) = 1728 g\ A11, 
(38.) j 112SglJM=J 2 a ii +lSJa 2 ß 2 -21ß i +21Qg,aß 3 = 1128g 3 ¿m, 
i 1728 glJ*N = ^ 3 « 5 + 1<UV/9M- 45^a/3*+2160 3 /? 5 = 1728 glJ'n 
befriedigt werden. Dies geschieht, wenn man a aus der quadratischen 
Gleichung 
(39.) (P—lmn-\-m 3 )a i -\-(llP-\-ln 2 —2m 2 ri)a — 21Pn-\-64 : l } m 2 -\-mn 2 = 0*) 
berechnet und in die Formeln 
! ±12g 2 = la 2j r3ma — n } 
± J — P[(in — m 2 )a-f-mw], 
ß~ = ± P [/' ec 2 -}- 11/m a -f- 64m 2 — 27/ra] 
einsetzt. Für die Lösung der quadratischen Gleichung (39.) ist noch zu 
erwähnen, dass 
2(P—lmn J r m 3 )a = — {IIP -{-ln 2 — 2m 2 n) + 
wird, wo 
Af — 108/ 5 «—135/W — 90/ 2 mra 2 +320/m 3 m— 256m 5 + ^ 4 
die Discriminante der Gleichung (32.) ist. Nun ist aber 
s = x 2 — ux-\-v> und deshalb z- k — — (xi — x M ) (x x + x^ — u), 
so dass \Af gleich ist der Quadratwurzel aus der Discriminante der 
ursprünglichen Gleichung fünften Grades, multiplicirt mit einer rationalen 
Function von u und von den Coefficienten dieser Gleichung. Die Berechnung 
von a führt also keine Irrationalität herbei, die mit den Anforderungen 
von Herrn Kronecker unverträglich wäre. 
Ferner kommt zu der irrationalen Grösse u scheinbar noch eine 
zweite ß hinzu, da nur ß 2 rational durch a dargestellt ist. Dies ist aber 
nicht der Fall, denn in Wirklichkeit braucht man ß selbst gar nicht. 
*) Bei dem in den Göttinger Nachrichten und in den Annali di Matematica ver 
öffentlichten Auszuge steht in dieser Gleichung aus Versehen —ran 2 statt -f-mw 2 .