Kiepert, zur Transformationstheorie der elliptischen Functionen. 
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§ 1. 
cc 
Entwickelung von /7(1 — K 2v ') n nach Potenzen von /¡ 2 . 
V — 1 
Setzt man 
(3.) fl (1 -h , y = H a (»)-H 1 (n)lt‘+H 1 (n)h t -H,(n)lil , + - = 1 (-1 )'H,(n)h u , 
v=l x=C 
so erkennt man zunächst ohne Weiteres, dass H x (n) eine ganze Function 
j/ten Grades von n sein muss. Es ist nämlich, wenn man 
n(n—\)(n—2 )...(« — >£ -f- j) 
1.2.3.. .x 
in der hergebrachten Weise mit (”) oder kürzer mit n y bezeichnet, n x eine 
ganze Function % ten Grades von n, und man erhält 
i (1— A 2 )” — 1 — nji 2 -t-n 2 h i —n 3 li i> -f {-(—1)*% A 2 *-|—, 
^ ^ j (1 — A 4 )” = 1 — n x A 4 + A 8 —- A 12 -j—, 
1(1 —A 2 *)” = l—nJi 2/ -\—. 
Multiplicirt man diese Gleichungen mit einander, so wird der Coeffieient 
von A 2 * auf der rechten Seite genau (—1 )*//„(»), denn in //(1—A 2, ') B haben 
die Factoren (1—A 2ji+2 )”, (1—A 2ii+4 )”, ... keinen Einfluss mehr auf den Coef- 
ficienten von A u . Aus dieser Bildung folgt also unmittelbar, dass H K (n) 
eine ganze Function ^ ten Grades von n ist. Desshalb kann man H x (n) auf 
die Form 
(5.) H x (n) ~ Va> x -\n+a K 
bringen, wobei a 1: « 2 , • • • rationale Functionen von ^ sind. Diese Dar 
stellung von H x (n) ist aber noch nicht die zweekmässigste. Jede ganze 
Function x ten Grades lässt sich nämlich auch als lineare Function von 
x-\-l gegebenen Functionen * ten Grades ausdrücken, wenn diese von ein 
ander linear unabhängig sind. Der Fall, wo diese gegebenen Functionen 
wie in Gleichung (5.) 
n y , n y ~ rx , ... n, ri ] 
sind, ist nur ein specieller, und es wird sehr häufig von Nutzen sein, andere 
Functionen, z. B, die Binomial-Coefficienten 
»*_!, »*_ 2 , • • • »1, «ü 
an ihre Stelle zu setzen. In dem vorliegenden Falle liegt es besonders 
28 * 
xx. wymuici, i neune uer vjDernacnen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.