Kiepert, zur Transformationstheorie der elliptischen Functionen. 
nahe, die Binomial-Coefficienten zu verwenden, da sie schon bei der Bildung 
von H x (n) auftreten. Man setze daher 
(6.) H x (n) = A xX) n x -\- A XjX n x _ x -\- A x;x n x _ 2 -\ \-A^ x _ x n x -\-A XjX n ü . 
Wie vortheilhaft diese Verwendung der Binomial-Coefficienten ist, ersieht 
man schon daraus, dass man die unbestimmten Coefficienten A y>l fast ohne 
Rechnung auffinden kann, wenn man den Werth von H x (n) für n — 0, 1, 2, ... x 
kennt. Es wird nämlich 
0) = A XjX , 
j ^C(l) — A X ' X _ 1 -\- A XiX , 
(7.) \ Hy.(2) = A x ^ x _2 J r^A x>x _ 1 ~\- A xx , 
Hx(ß) — A x ^ x _ 3 -j-3A XjX _ 2 ~h^A XjX _ 1 -j-A X)X , 
Dabei folgt aus diesen Gleichungen (7.), dass die Coefficienten A.^ x , A xx _ x , 
... sämmtlich ganze Zahlen bedeuten, wenn H x (0), H x ( 1), H y (2), ... 
ganze Zahlen sind, eine Bedingung, die hier wirklich erfüllt ist. 
Man kann aber die Bildung der Grössen H x (n) auch dadurch aus 
führen, dass man die Richtigkeit der Gleichung (6.) jedesmal durch den 
Schluss von n auf n-\-1 prüft. Es ist nämlich 
i7(l—ä 2 Ö” +1 = (1-ä 2 -ä 4 +A 1ü +ä 14 -ä 24 -ä 3,, +ä 44 +ä 52 -...) n(\-V v ) n , 
v—1 
(8.) 2(-l)*H,(n+l)h 2 * = 2 {-rfh^^Z(-V) 1 H l (n)h n , 
y.—\) m=—cc 2=0 N 
(9.) H K (n +1) = H x (n)+H x _ x (n)~H x ^(n)-H x _,(n) 
- H x _ 7 (n) - H y _ X 2 (n)+H x _ 15 (n) -f H x _ 22 (»)+ — , 
(9«.) H x (n+1) - ^(-1) 
—i) 
2 H 
0 = 0, +1, +2, +3, ...) 
wobei die H mit negativem Index gleich Null zu setzen sind. Wendet 
man nun die bekannte Relation 
(10.) (n-f-1)* = n x -\-n x _ i 
an, so wird 
H x (n-\-1) = A y ^n+l\^A x>x (n-\rl') x _ 1 -\-A Xj 2(n-\-V) x __2 J rA x3 (n-\-V) x _ 3 
~hA x> 4 (n+1)* -4+A x>5 (n -f- l)x_5d— 
— A x>i) n x -\-A X)X n x _ x -\rA x ,2n x _2 J rA Xy3 n x _ 3 -\-A x ^n x _nr{-A X £n x _* > -\— 
A x>{) n x _ x -\- A x ^ x n x _2~\-A X; 2 n x -^ J rA X}3 n y _ i -] r A X) i X n x ^-\—.