Zar Theorie der elliptischen Functionen. 
Im Anschluss an die Klein’sche Arbeit behandelte Herr Gierster 
noch die oben genannten Fälle, in denen n eine zusammengesetzte Zahl 
ist, und stellte die r-Gleichungen auf. Auch hier kann für n= 4, 9, 25 
diese Grösse r noch so bestimmt werden, dass 
rii—1 
fcn-ipi 
wird. Dagegen ist Herr Gierster im Irrthum (wahrscheinlich durch 
Induction verleitet), wenn er behauptet, dass diese Relation auch noch 
für die anderen Werthe von n gilt. Es ist vielmehr für 
n = 6, 8, 10, 12, 16, 18 
die Grösse r re_1 nur ein Factor von A n ~ 1 f 24 . 
Diese Erkenntniss, welche sich mir allerdings erst bei wiederholter 
Durchsicht und Prüfung der Gierster’schen Notiz ergab, eröffnete 
mir eine vielversprechende Aussicht auf dem Gebiete der Transforma 
tion. Dabei ist die von Herrn Klein inaugurirte Berücksichtigung 
des Geschlechtes der J-Gleichung wesentlich, die Untersuchung aber 
nicht auf den Fall beschränkt, wo dieses Geschlecht gleich Null ist. 
Die von mir eingeführte Hülfsgrösse f ist somit gewissermassen 
der vornehmste Repräsentant einer ganzen Gattung von Hülfsgrössen, 
die nicht nur für die Transformation, sondern auch für die Algebra 
von besonderer Wichtigkeit sind, und die zu einander in inniger Be 
ziehung stehen. Desshalb ist es nothwendig, dass ich in dieser Ab 
handlung zunächst die Theorie der f- Gleichung in ihrem Zusammen 
hänge mit der Theilung und mit der Transformation der elliptischen 
Functionen gebe. Der Inhalt meiner früheren Abhandlungen über 
Transformation, deren Kenntniss ich hier übrigens nicht unbedingt 
voraussetze, wird dadurch wesentlich ergänzt, erweitert und zu einem 
fertigen Ganzen abgeschlossen. Dabei sind die einzelnen Sätze hier 
bereits so gefasst, dass sie auch sogleich für die späteren Unter 
suchungen verwendbar sind. 
Im Gegensatz zu meinen früheren Arbeiten gehe ich jetzt, einem 
gütigen Rathe von Herrn Kr o neck er folgend, von der Theilung der 
elliptischen Functionen aus, indem ich die Theilwerthe von p } d. h. 
diejenigen Werthe von <pu untersuche, bei denen u der Theil einer 
Periode ist. Die von einander verschiedenen Theilwerthe sind Wurzeln 
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der mathematischen Annalen („Grundlagen einer independenten Theorie der ellip 
tischen Modulfunctionen und Theorie der Multiplicatorgleichungen erster Stufe“), 
in welcher Herr Hurwitz, soweit es sich um die /'-Gleichung handelt, die von 
Herrn Klein gegebenen Ideen weiter verfolgt und eine grosse Anzahl neuer 
Resultate hinzugefügt hat. Neuerdings ist auch Herr Web e r auf die Theorie der 
/-Gleichung eingegangen (Acta Mathematica, Bd. VI, pag. 329 ff.: „Zur Theorie 
der elliptischen Functionen“), wobei er seinen Ausgangspunkt in der Theilungs- 
gleichung für sin am u nimmt. 
Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
stehen werde, 
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schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.