Zur Theorie der elliptischen Functionen. 
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Um nun die oben erwähnten Coefficienten darzustellen, bildet man 
eine partielle Differentialgleichung, welcher die Function f 3 P(s) ge 
nügt. (Ist n gerade, so tritt an die Stelle von f 3 P(s) der Nenner in 
der Darstellung von <pu, multiplicirt mit /‘ 6 ). Aus dieser Differential 
gleichung findet man durch Entwickelung nach Potenzen von s die 
einzelnen Coefficienten von P(s) unmittelbar als Functionen von f und 
den partiellen Ableitungen von f nach g 2 und g s . Sobald also die 
f-Gleichung gebildet ist, kann man die Coefficienten von P(s) als 
rationale Functionen von f, g 2 und g% darstellen. 
Hat man den Nenner von pu, so ergiebt sich daraus der Zähler 
sehr leicht, und ebenso ist auch die Darstellung von 6u — 
wie sich zeigen wird, dadurch schon gegeben. Die Invarianten g 2i g s der 
transformirten Function pu findet man gleichfalls aus dieser partiellen 
Differentialgleichung. 
Es kommt daher Alles auf die /’-Gleichung und deren Wurzeln 
Zu ihrer Bildung ist es zunächst nothwendig, das Verhalten der 
an. 
Grösse Q{p, a) zu untersuchen, wenn man die primitiven Perioden 
2 g>, 2g>' mit den äquivalenten 2'ro, 2'w' vertauscht. Es wird nämlich 
Q(Pt Tf) = Q (*>’ q q ') CT '); 
w0 p l P* 2 \ eine 24 te Wurzel der Einheit ist, welche man durch 
\JP, dJ 
Zurückführung auf Gauss’sche Summen bestimmen kann. Ich habe 
für diese Grösse q auch sogleich eine Tabelle aufgestellt, welche die 
Fälle q = 1 bis q = 7 umfasst. 
Jetzt bietet, abgesehen von numerischen Rechnungen, die Her 
stellung der /’-Gleichung und die Untersuchung ihrer Wurzeln keine 
Schwierigkeit mehr, namentlich, wenn n eine Primzahl von der Form 
6Z-J- 1 ist; denn man kennt die Form der Gleichung und kann die 
’ / O)’ 71 i\ 
Zahlencoefficienten durch Entwickelung nach Potenzen, von h \— e ) 
ausrechnen. Nach dieser Methode habe ich für die Zahlen 
n = 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 
die /"-Gleichungen wirklich gebildet; für n = 5 und für n — 7 sind 
auch die übrigen Grössen, welche bei der Transformation auftreten, 
als rationale Functionen von f, g 2 , g 3 dargestellt. 
Zwischen den n-f- 1 Wurzeln der /’-Gleichung gelten 
n -f- i 
Rela- 
tionen, weiche denen für den Jacobi’sehen Multiplicator analog sind. 
Ist n eine zusammengesetzte Zahl von der Form 61 + 1, so kann 
’ -;an die /h Gleichung am leichtesten durch wiederholte Iransformation 
linden. Ist z. B. n — ab, so bilde man 
Mathematische Annalen. XXVI. 
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J) 
Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i83a), dass 
296 
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schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.