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Zur Theorie der elliptischen Functionen. 379 
Hieraus ergeben sich die folgenden Sätze: 
III. Die Coefficienten der reducirten Theilungsgleichung sind ganze 
rationale Functionen von g 2 und g v 
IV. Jede (ganze) symmetrische Function derjenigen Theilwerthe n ten 
Grades, welche das reducirte System lüden, ist eine (ganze) rationale 
Function von g 2 und g r 
§ 3. 
Insolventen der reducirten Theilungsgleichung. 
/I 
Sind jetzt l und g so gewählt, dass px,^ zu dem reducirten System 
der Theilwerthe w ten Grades gehört, und setzt man der Kürze wegen 
= Wh¡x; also > 
so gehören auch die jp-Theiler 
pikdwx^), ■ • • p(k x wx lf j) 
zu dem reducirten System, wenn k relativ prim ist zu n. Nun sei x 
die kleinste Zahl, für welche 
k* = + 1 (mod. n) 
ist, und es sei Cx,n eine cyklische Function der Grössen 
p(wx^), p(km,fi), p(k 2 Wx^), • • • p(k x ~ 1 Wx^). 
Da nun p(k*u) = pu ist, so ist Cx& auch eine cyklische Function 
von 
p{kwx, u ), P(k 2 wx,^) } p(k 3 wx, ß ), • • • <ß(k x wx,fi), 
oder von 
p(k 2 wx, u ), p(¥wx^), p(k*Wx,v), - • ■ P(k*+ l wx lfl ), 
u. s. w. Ferner ist p(ku) eine rationale Function von pu, deshalb wird 
(6) Cx# = F(p(w itli )) = F(p(kwx >fl )) = •••=■ F(p(k x ~ i wx, fl )), 
wobei F(p) eine rationale Function von p, g 2 , g A bedeutet. 
Wenn nun p(wxy) = Pry gleichfalls zu den Theilwerthen des 
reducirten Systems gehört, aber von den Theilwerthen p(wx, M ), 
p(kwx,u), • ■ *, p(h*~ x wx,n) verschieden ist, so kann man dieselbe 
cyklische Function — sie heisse jetzt Cx'y — von den Grössen 
p(wx,nj, p(kwx’y), p(k 2 wx\n')> ’ ’ ’ 
bildeu und erhält ebenso 
(6 a) Cxy = F(p (wx, „')) = F(p (k wxy)) = --- = F(p (k*~'wx'y)). 
So kann man fortfahren, bis das reducirte System der Theilwerthe 
erschöpft ist. Nach bekannten Sätzen aus der Zahlentheorie muss 
nämlich x ein Theiler von cp(n) sein, während unter den Theil 
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Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
¡so ol auch zuzu 
schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
nin letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.