Zur Transformation der elliptischen Functionen. 
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Für q — 2 z. B. giebt es nach Riemann (Seite 116 der ges. 
Werke) solche Hülfsgrössen £, für welche die Gleichungen (1) in Bezug 
auf J und J nur vom zweiten Grade werden, und andere Hülfsgrössen 
rj, für welche die Gleichungen 
(2) F 2 {rj,J)= 0 und F 3 {rj,J) = 0 
in Bezug auf J und J vom dritten Grade sind. Hierbei besteht 
zwischen £ und rj eine Gleichung, welche in Bezug auf £ vom dritten 
und in Bezug auf rj vom zweiten Grade ist. Ausserdem sind nicht nur 
| und rj rationale Functionen von J und J, sondern auch J uud J 
sind rationale Functionen von £ und g, oder, was auf dasselbe hinaus 
kommt, sie sind rationale Functionen von £ und von der Quadratwurzel 
aus einer Function fünften oder sechsten Grades von £. 
Ist q > 2 und gerade, so kann man den Grad der Gleichungen 
(1) nach Riemann auf -i-(p-j-2), und ist q > 2 und ungerade, so 
kann man den Grad auf — (q + 3) herabdrücken. In besonderen 
Fällen erniedrigt sich der Grad der Gleichungen (1) sogar noch weiter. 
Eine solche Hiilfsgrösse £ möge in dem Folgenden ein „Parameter“ 
und der Grad der Gleichungen (1) in Bezug auf J und J möge der 
„Charakter“ des Parameters £ genannt werden. 
Gelingt es also, Parameter mit möglichst niedrigem Charakter zu 
bestimmen, so erkennt man ohne Weiteres, wie sehr das Transforma 
tionsproblem dadurch vereinfacht werden kann, denn der Grad der 
Gleichungen, durch welche die Beziehung zwischen J und J gegeben 
wird, ist wesentlich kleiner als bei den Gleichungen, welche man bisher 
zur Vermittelung dieser Beziehung benutzte. 
Uabei ist es für zusammengesetzte Transformationsgrade gar 
nicht nöthig, von der Herstellung der Gleichungen (1) auszugehen, 
man kommt vielmehr weit schneller zum Ziele, wenn man mehrere 
Parameter mit möglichst niedrigem Charakter bildet, die Form der 
Gleichungen feststellt, welche zwischen je zweien unter ihnen besteht, 
und die noch unbestimmten Zahlcoefficienten dadurch ausrechnet, dass 
man die beiden Parameter nach steigenden Potenzen von h n = z ent- 
beiläufig um die Aufstellung der zwischen J und J bestehenden Gleichung 
handelt. Immerhin besteht zwischen diesen Arbeiten und meiner Untersuchung 
eine Uebereinstimmung im Princip: hier wie dort handelt es sich darum, bei der 
Construction von Gleichungssystemen auch im Falle höheren Ranges den Anschluss 
an die Theorie der algebraischen Functionen zu bewahren, andererseits geeignete 
Irrationalitäten der eigentlichen Theorie der elliptischen Functionen zu entnehmen. 
Vergl. insbesondere die Dissertation von Herrn Fricke (Leipzig 1886): Uéber 
Systeme elliptischer Modulfunctionen von niederer Stufenzahl. 
1* 
Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
296 
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schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.