Zur Transformation der elliptischen Functionen. 
22 ten Grades zu Hülfe nahm. Da für andere Primzahlen Aehuliches 
gilt, so ist dieser Umstand ein weiterer Beleg dafür, dass man das 
Transformationsproblem durchaus nicht auf Primsahlen beschränken 
darf, dass vielmehr erst die zusammengesetzten Zahlen die hinreichen 
den Hülfsmittel zur befriedigenden Lösung dieses Problems bieten. 
Im siebenten Abschnitte werden die Transformationen vom Grade 
4«, insbesondere vom Grade 12, 20 und 28 ausgeführt. 
Daran schliessen sich im achten Abschnitte die Transformationen 
vom Grade 8a, 16a, allgemein vom Grade 2 a a mit den besonderen 
Fällen 
n = 24, 48, 96, . . .40, 80, . ... 
Die Transformation vom Grade 3 a wird im neunten Abschnitte 
durch die besonderen Fälle n — 15 und n = 21, und die Transforma 
tion vom Grade 9 a wird im zehnten Abschnitte durch die besonderen 
Fälle n = 18 und n = 45 erläutert. 
Schliesslich handelt der elfte Abschnitt noch von der Transforma 
tion 6a len Grades, wofür der Fall n = '50 als Beispiel dient. 
Bei diesen Anwendungen gelingt es häufig noch, die Resultate 
in besonders elegante Form zu bringen. Während nämlich die all 
gemeine Aufgabe nach den vorstehenden Angaben so lauten würde: 
„Man soll J und J als rationale Functionen zweier Parameter mit 
möglichst niedrigem Charakter darstellen, so dass die Beziehung 
zwischen J und J durch die viel einfachere Beziehung zwischen diesen 
Parametern ersetzt wird,“ kann man in vielen Fällen J als rationale 
Function eines einzigen Parameters |, und J als dieselbe rationale Func 
tion eines zweiten Parameters f darstellen, wobei dann zwischen £ und f 
eine verliältnissmässig einfache Beziehung stattfindet. 
Mit den durchgeführten Beispielen ist die Zahl der leicht zu 
bewältigenden Anwendungen durchaus nicht erschöpft; aber der Um 
fang der Abhandlung wäre zu gross geworden, hätte man noch mehr 
besondere Fälle herangezogen. Auch wird nicht das Hauptgewicht 
auf die Durchführbarkeit zahlreicher Beispiele gelegt, sondern auf die 
algebraischen Beziehungen, welche mit der angegebenen Methode in 
Zusammenhang stehen. 
Man hat es nämlich hier mit „ Klassen “ alge 
braischer Gleichungen zu thun, deren Verzweigung der Untersuchung 
leichter zugänglich ist als in den meisten bisher bekannten Beispielen. 
Ebenso finden die hier erläuterten Methoden, wie ich später zu zeigen 
hoffe, umfangreiche Verwendung bei der complexen Multiplication der 
elliptischen Functionen. 
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Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
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schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letzten Paragraphen ’findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert. 
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