Zur Transformation der elliptischen Functionen.
7
(4a) 27f = 2prj -f- 2qrf, 2rf' = 2p rj -f 2qrf.
Es folgt dann aus der bekannten Formel
<?(M-f2or) = (— 1)P3+P+? e 2f(M+<5) (JW,
weil in diesem Falle pq p -f- q immer eine ungerade Zahl ist,
(8) T(w + 2äf) = - r(w), r(2-sr — u) = — t( — u) = r(w),
und wenn man
u
2 « ®
W
setzt,
\ n y
( 2(n — al® \ / 2 o: ® \
Der Vortheil, welchen diese Function t(ii) für die Transforma
tion der elliptischen Functionen bietet, ergiebt sich z. B. schon aus
den folgenden Formeln. Nach Gleichung (17 a) m. vor. Abh. war
für n — 2m -f- 1
(10)
<5(u) = ú(u I (ú') = e 2 6{u) n J^J\jp(u) — p(^^-)]5*)
führt man aber die Functionen t(u) und t(u) statt ö(u) und a(u)
ein, so erhält diese Gleichung die einfachere Form
(10a) r(u) = t(i
Ist n eine gerade Zahl, also n
(17 b) m. vor. Abh.
1
(lt) «(«) —o(«| To )
') = *(«)"
a = l
= 2m -f- 2, so wird nach Gleichung
m
8 B ' U 0u(u)<f(u) n - 1 ,
eine Gleichung, welche durch Einführung der Functionen z(u) und t(u)
die einfachere Form
*) Hierbei genügt die Grösse -B, der Gleichung
2ih® = 2 n(rj — fj),
in der rj aus ij entsteht, indem man das primitive Periodenpaar 2®, 2®' mit
2w = , 2 ca = 2® ,
n
vertauscht. Ersetzt man nun in Gleichung (10) das Argument u durch
u -j- 2 ® = u -f- l 2n w,
so erhält man ohne Schwierigkeit den angegebenen Werth von S l . In gleicher
Weise wird 2?, für gerade Werthe von n erklärt.
296
Mathematische Wissenschaften.
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach
Jakob Steiners Principien auf synthetischem
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S.
gr. 8°. M. 16.
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass
stehen werde,
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schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist.
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist.
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft,
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche
Fortsetzung folgen lasse.
Hannover. L. Kiepert.