Zur Transformation der elliptischen Functionen. 
in derselben Weise zu führen möglich wie bei Herrn Weber, soll 
aber erst bei der hier folgenden Verallgemeinerung gegeben werden. 
Der Begriff der Transformationsgleichung lässt sich nämlich noch 
wesentlich erweitern. Schon in § 3 m. vor. Abh. hatte ich folgenden 
Satz bewiesen: 
IV. Ist Cx,^ eine cyklische Function von p(w), <p(kiv),...p(k*~ l w), 
wo w wieder gleich wx,n und wo x die kleinste Zahl ist, für welche 
Ti* = + 1 (mod. n) ist, so ivird Cx, u die Wurzel einer Gleichung vom 
Grade ~ <p (n) T (ri), deren Coefficienten rationale Functionen von g 2 
und g 3 sind. 
Ist n oder ~ die Potenz einer Primzahl p, die von 2 verschieden 
ist, oder hat n einen der Werthe 2 und 4, so giebt es primitive 
Wurzeln g von n. Setzt man in diesem Falle k — g, so wird 2x 
gleich cp(n) und Cx >f i die Wurzel einer Resolvente vom Grade T(n), 
welche dieselben Eigenschaften besitzt wie eine Transformations 
gleichung. Auch in einigen anderen Fällen kann mau durch einmalige 
Anwendung des Satzes IV Insolventen vom Grade T(n) bilden. Wenn 
dies aber nicht möglich ist, wenn man also auf diesem Wege nur 
Resolventen erhält, deren Grad ein Vielfaches von T(n) ist, so lässt 
sich folgendes Verfahren einschlagen. 
Da 2x < cp(n) ist, so kann man unter den Zahlen, die zu n 
relativ prim und kleiner sind als eine Zahl s so auswählen, dass sie 
den 2x Zahlen 
+ 1, ±k, ±k\. ..±k*~ x 
modulo n nicht congruent ist. Es sind dann die x Grössen 
(20) $>(sw), p(ksw), p(krsw), . . . p(F~ x sw) 
von einander und von den x Grössen 
(21) p(w) } p(kw), p(k 2 w), . .. <ß{k*~ x w) 
verschieden. Wäre nämlich 
p (k u sw) = p (k? s w) 
und ist z. B. a < ß, so müsste 
k a sw + №sw — k a sw{ 1+&/*-“) =» 2pco + 2goj' 
eine ganze Periode sein. Da w aber den Nenner n hat, und die 
Zahlen k und s zu n relativ prim sind, so müsste 
TG~ a = + 1 (mod. n) 
sein, und dies ist unmöglich, da a und ß beide kleiner als n sind. 
Wäre dagegen 
(22) 
<p (k a sw) — <p(k?w), 
Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i83a), dass 
schreiben ist, 
suchung der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. 
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert. 
m Stoffes sehr 
ol auch zuzu- 
dass sich der Herr Verf. auf die Unter- 
Flächen zweiter Ordnung und der 
Nur