so kann man auch hier voraussetzen, dass «</3 ist, denn wäre a> ß, 
so könnte man ß mit ß -f- x vertauschen. In beiden Fällen ist 
0 < ß — a < x. 
Aus Gleichung (22) würde folgen, dass 
k a sw + kßiv = k a w (s^№~ a ) = 2 p 03 2qco' 
eine ganze Periode ist, dass also s + kß~ a durch n theilbar ist. Dies 
widerstreitet aber der Wahl von s. 
Bildet man jetzt die Grössen 
(23) p{s 2 w), p(ks 2 iv), p(k 2 s 2 w), . . . p(k ie ~ 1 s 2 w), 
so können zwei Fälle eintreten. Entweder ist p(s 2 w) eine der Grössen 
p{iv), p(kiv~), p(k 2 iv), . . . p(k* -1 w) in der Reihe (21), oder p(s 2 w) 
ist von ihnen verschieden. Im ersten Falle ist die Reihe (23) nur 
eine cvklische Vertauschung der Reihe (21); im zweiten Falle aber 
enthalten die Reihen (20), (21) und (23) lauter verschiedene Theil- 
werthe des p, was mau in ähnlicher Weise zeigen kann, wie es vorhin 
bei den Reihen (20) und (21) geschehen ist. 
Bildet man in dem zweiten Falle noch die Reihe 
p(s 3 w), p(Jcs 3 w), p(k 2 s 3 tv), . . . p{h x ~ l s 3 w), 
so können wieder zwei Fälle eintreten: Entweder ist die Reihe (24) 
nur eine cyklische Vertauschung der Reihe (21), oder sie enthält lauter 
Theilwerthe von p, die in den vorhergehenden Reihen noch nicht ent 
halten sind. In dem zweiten Falle ist das Verfahren noch weiter 
fortzusetzen, schliesslich wird man aber immer zu einer Reihe 
p(s a iv), p(Zcs a w), p(k 2 s a w), . . . p{k x ~ 1 s a w) 
kommen müssen, welche nur eine cyklische Vertauschung der Reihe 
(21) ist. Bezeichnet man mit o die kleinste Zahl, welche dieser 
Forderung entspricht, so muss 2x6 ein Theiler von rp{n) sein, denn 
die xö Grössen p(li a sPtv) sind sämmtlich Grössen von der Form p{lw), 
wo l alle Zahlen durchläuft, welche zu n relativ prim und kleiner 
sind als —, so dass p(lw) im Ganzen y cp {n) verschiedene Werthe hat. 
Wenn nun x6 nicht gleich, sondern kleiner ist alsy<p(w), so wähle 
man l t so, dass pil^w) von den xö Grössen p(k a s^w) verschieden ist. 
Vertauscht man jetzt iv mit l { w, so erhält man ein zweites System 
von x 6 Grössen p(k a s ß l x w), welche von einander und von den x6 
Grössen des ersten Systems verschieden sind. 
Entweder sind damit die y cp (n) Grössen p (lw) erschöpft, so dass 
2 3i<9 = y<p(w) wird, oder man kann durch passende Wahl von l 2 
.