Zur Transformation der elliptischen Functionen.
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noch ein drittes System von nö Grössen p(k a s? l 2 w) bilden und so
fortfahren, bis sämmtliche Grössen p(lw) vorgekommen sind.
Braucht man im Ganzen m solche Systeme, so ist also
Y cp {n) = m % 6,
folglich ist ~<p(n) ein Vielfaches von %6.
Bezeichnet man jetzt mit Cdie cyklische Function der Grössen
p(s a w), p(ks a w), p(k 2 s a w), ... <ß(k*- * 1 s a w), welche aus Cx,u (oder
kürzer aus C) durch Vertauschung von w mit s a w hervorgeht, so kann
man eine cyklische Function C' der cyklischen Functionen
(26) C, C^, №, . . . C {a ~ 1]
bilden*) und kann C wieder als eine cyklische Function der % Grössen
' 0>(«Oj p(Jcw), p(k 2 w), . . . p(k*~ l w)
betrachten, weil p{s a u) eine rationale Function von p(u) ist. Deshalb
kann man auf C den Satz IV anwenden, nach welchem C' zunächst
die Wurzel einer Resolvente vom Grade
cp ( n ) T ( n )
wird.
Bei dieser Resolvente sind aber je 6 Wurzeln einander gleich,
denn durch Vertauschung von p(w), p(kw), p(k 2 w), . . . p(k*~ l w)
mit p(s a w), p(ks a w), p(h 2 s a w), . . . p (ä;* -1 s a w) geht G in
G 1(1 ) in C, . . . über, so dass sich die cyklische Function C' gar
nicht ändert. Der Grad der Resolvente, von welcher C' abhängt, lässt
sich also auf T W T(n) re( j uc j ren uu( j es pjlt der Satz:
2 x ö 7 G
V. Ist G {a] eine cyklische Function der % Grössen
p(s a w), p(ks a w), p(k 2 s tt w), . . . ps a w),
wo % der kleinste Exponent ist, für welchen k* = + 1 modulo n wird,
und ist C' eine cyklische Function der 6 Functionen
C, CW, CM, . . .
wo 6 der kleinste Exponent ist, für welchen
s a = + k a (mod. n)
wird, während a noch irgend einen der Werthe 0, 1,2,
haben darf, so ist C' die Wurzel einer Resolvente vom Grade
deren Coefficienten rationale Functionen von g 2 und g ?j sind.
Indem man dieses Verfahren fortsetzt, muss man schliesslich zu
einer Resolvente vom Grade T(ii) gelangen, die auch noch „eine zu
n gehörige Transformationsgleichung u heissen soll.
*) Eine solche Function möge „eine mehrfach cyklische Function von den
Theilwerthen der p Function “ heissen.
. . . sc — 1
cp(n) T(n)
2x0 7
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Mathematische Wissenschaften.
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach
Jakob Steiners Principien auf synthetischem
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S.
gr. 8°. M. 16.
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass
stehen werde,
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schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist.
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zw
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist.
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft,
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche
Fortsetzung folgen lasse.
Hannover. L. Kiepert.
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