Zur Transformation der elliptischen Functionen. 
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Da nun aber j(x) gleich J(x) ist, so ist j(nx) eine Wurzel der 
selben Gleichung (83), d. h. die T verschiedenen Grössen 
v 
'll) «2, * • * JT 
müssen sämmtlieh Wurzeln der Gleichung (83) sein, folglich ist die 
Invariantengleichung irreducibel. 
Unter den Werthen von J mögen die beiden 
J(nr) und j(~) 
besonders hervorgehoben werden; dadurch erhält man aus Gleichung 
(82) die beiden Gleichungen 
(84) F{J(nx), J(r)) = 0 
und 
(84a) <T«)-°- 
Vertauscht man jetzt in Gleichung (84a) die Grösse r mit nx, 
so wird 
(85) F(J(r), J (wt)) = 0. 
Die Gleichung (84) bleibt daher noch richtig, wenn man J(nt) mit 
J(x), oder J mit J vertauscht. Da aber die Gleichung (82) irreducibel 
ist, so gilt dies nicht nur für J{nx) } sondern für jedes beliebige 
J, und man erhält 
F(J,J) = ±F(J, 7). 
Hierbei muss aber das obere Zeichen gelten, weil für das untere 
Zeichen die Gleichung (82) auch für J — J befriedigt werden müsste, 
was für beliebige Werthe von x nicht möglich ist. Dies giebt den Satz: 
IV. In Gleichung (82) ist die linke Seite F (J, J) eine symmetrische 
Function der beiden Jnvarianten J und J. 
Zu jedem primitiven Periodenpaar gehört ein einziger x-Repräsen 
tant, wie vorher gezeigt wurde, zu jedem x- Repräsentanten gehören 
aber unendlich viele primitive Periodenpaare 
2p 03 -f- 2qo3, 2p co -f- 2q 03'. 
Ist der x - Repräsentant 
C + Bz 
A 
gegeben, so kann man die ganzen 
Zahlen p, q, p\ q z. B. in folgender Weise bestimmen. 
Man wähle die ganze Zahl a so, dass 
(86) p — Aa -f- C und q — I) 
relativ prim sind; ferner wähle man die ganzen Zahlen p und q so, 
dass 
pi —pq = +1- 
296 
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Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
Focalkegel- 
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schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.